Question

Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 120 литров она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объёмом 96 литров?

Answer 1

Пусть х л/мин. пропускает первая труба,
тогда (х + 2) л/мин. - вторая труба.
$\frac{120}{x}-4= \frac{96}{x+2} \\ \\ \frac{120-4x}{x} = \frac{96}{x+2} \\ \\ (120-4x)(x+2)=96x$
120х + 240 - 4х² - 8х = 96х
- 4х² + 16х + 240 = 0
х² - 4х - 60 = 0
D = (- 4)² - 4 · (- 60) = 16 + 240 = 256 = 16²
х₁ = (4 + 16)/2 = 10 (л/мин.) - пропускает первая труба.
х₂ = (4 - 16)/2 = - 6 (л/мин.) - не подходит.
Ответ: 10 литров в минуту пропускает первая труба.

Answer 2

Давайте обозначим скорость пропуска воды первой трубы через \( x \) литров в минуту, а второй трубы через \( x + 2 \) литра в минуту.

Так как время, которое требуется первой трубе, чтобы заполнить резервуар объемом 120 литров, на 4 минуты больше, чем у второй трубы для резервуара объемом 96 литров, у нас есть уравнение:

\[ \frac{120}{x} = \frac{96}{x + 2} + 4 \]

Умножим обе стороны на \( x(x + 2) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\[ 120(x + 2) = 96x + 4x(x + 2) \]

Раскроем скобки:

\[ 120x + 240 = 96x + 4x^2 + 8x \]

Упростим уравнение и приведем его к стандартному виду квадратного уравнения:

\[ 4x^2 - 32x - 240 = 0 \]

Разделим обе стороны на 4:

\[ x^2 - 8x - 60 = 0 \]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Мы можем факторизовать его или воспользоваться формулой для нахождения корней:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В нашем случае \(a = 1\), \(b = -8\), и \(c = -60\). Подставим значения:

\[ x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(-60)}}{2(1)} \]

\[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 240}}{2} \]

\[ x = \frac{8 \pm \sqrt{304}}{2} \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения \(x\):

\[ x_1 = \frac{8 + \sqrt{304}}{2} \]

\[ x_2 = \frac{8 - \sqrt{304}}{2} \]

Оба значения являются положительными, так как скорость пропуска воды не может быть отрицательной. Теперь можно выбрать подходящее значение для \(x\) и ответить на вопрос.

\[x_1 = \frac{8 + \sqrt{304}}{2} \approx 14.32 \text{ литра/мин}\]

\[x_2 = \frac{8 - \sqrt{304}}{2} \approx -1.32 \text{ литра/мин} \]

Так как отрицательное значение не имеет физического смысла в данном контексте, мы отбрасываем \(x_2\).

Таким образом, первая труба пропускает примерно 14.32 литра в минуту.