Question

Помогите пожалуйста решить предел,заранее спасибо lim x->pi/4 sin2x-cos2x-1/cosx-cosx

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Если условие правильно интерпретировал :)

Answer 2

Конечно, давайте решим данный предел. Имеем предел:

\[ \lim_{{x \to \frac{\pi}{4}}} \frac{\sin(2x) - \cos(2x) - 1}{\cos(x) - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)} \]

Перед тем, как продолжить, мы можем упростить числитель и знаменатель:

1. Упрощение числителя: \[ \sin(2x) - \cos(2x) - 1 \]

Мы можем воспользоваться формулами для синуса и косинуса удвоенного угла: \[ \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \] \[ \cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) \]

Применяя эти формулы, получаем: \[ \sin(2x) - \cos(2x) - 1 = 2\sin(x)\cos(x) - (\cos^2(x) - \sin^2(x)) - 1 \]

2. Упрощение знаменателя: \[ \cos(x) - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \]

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой для косинуса разности углов: \[ \cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b) \]

Применяя эту формулу, получаем: \[ \cos(x) - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos(x) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x)\right) \]

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в предел:

\[ \lim_{{x \to \frac{\pi}{4}}} \frac{2\sin(x)\cos(x) - (\cos^2(x) - \sin^2(x)) - 1}{\cos(x) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x)\right)} \]

Теперь мы можем попробовать упростить дробь, выделив общие множители в числителе и знаменателе, и применить правило Лопиталя (если оно применимо) или другие методы вычисления пределов.