Question

Каждое утро мартышка идет на работу на 2 этаж и чтобы не было скучно наступает на лестницу через одну ступеньку. На лестнице есть пролёты двух видов А и Б, в которых нечетное и четное количество ступенек соответственно. Мартышка проходит их в следующей последовательности - А, Б, А, Б. Между двумя пролетами мартышка делает два шага. Сколько всего ступенек ведут на второй этаж, если мартышка делает всего 28 шагов, считая и крайние шаги - шаг на первую и на последнюю ступеньку каждого пролета (шаги до и после лестницы не учитываются, площадка пролета ступенькой не считается)? Варианты ответов: 34, 38, 22, 18

Answer 1

Пусть на пролете А ступенек n (нечет), на пролете В ступенек m (чет).
Всего в 4 пролетах 2n + 2m ступенек.
Сначала нечетный пролет А, и мартышка наступает на 2, 4, 6, ..., n-1, n ступеньки. Всего (n-1)/2 + 1 = (n+1)/2 шагов.
Потом идет четный пролет В, и мартышка наступает на 2, 4, 6, ..., m ступеньки. Всего m/2 шагов.
Между 4 пролетами 3 промежутка по 2 шага, всего 6 шагов.
Получаем
(n+1)/2 + 2 + m/2 + 2 + (n+1)/2 + 2 + m/2 = 28
n + 1 + m + 6 = 28
n + m = 21
Всего в 4 пролетах 2n + 2m = 42 ступеньки.
Но площадка пролета ступенькой не считается! А я считал.
Поэтому нужно вычесть 4 шага (последние шаги на 4 пролетах).
Правильный ответ 38.

Answer 2

Давайте разберемся. Последовательность, в которой мартышка проходит пролеты А и Б, выглядит так: А, Б, А, Б. Каждый пролет имеет свое количество ступенек: нечетное количество для пролетов А и четное количество для пролетов Б.

Пусть \(А_1\) - количество ступенек в первом пролете (А), \(Б_1\) - количество ступенек в первом пролете (Б), \(А_2\) - количество ступенек во втором пролете (А), \(Б_2\) - количество ступенек во втором пролете (Б).

Тогда мартышка делает 2 шага между пролетами, и у нас есть следующее уравнение:

\[2 + А_1 + 2 + Б_1 + 2 + А_2 + 2 + Б_2 = 28.\]

Упростим это уравнение:

\[А_1 + Б_1 + А_2 + Б_2 = 20.\]

Мы также знаем, что количество ступенек в пролетах А и Б - нечетное и четное соответственно. Поскольку у нас есть два пролета каждого типа, то сумма нечетных чисел (А) также будет четной, и сумма четных чисел (Б) будет четной. Таким образом, сумма \(А_1 + А_2\) четна, и сумма \(Б_1 + Б_2\) тоже четна.

Таким образом, у нас есть четное число (20), которое является суммой двух четных чисел. Это возможно только в случае, если все четыре числа (\(А_1\), \(Б_1\), \(А_2\), \(Б_2\)) четные. Так как четное число делится на 2, то каждое из этих четных чисел делится на 2 без остатка.

Теперь давайте представим, что \(А_1 = 2 \cdot a_1\), \(Б_1 = 2 \cdot b_1\), \(А_2 = 2 \cdot a_2\), \(Б_2 = 2 \cdot b_2\), где \(a_1, b_1, a_2, b_2\) - целые числа.

Тогда уравнение примет вид:

\[2 \cdot a_1 + 2 \cdot b_1 + 2 \cdot a_2 + 2 \cdot b_2 = 20,\]

или после деления на 2:

\[a_1 + b_1 + a_2 + b_2 = 10.\]

Теперь у нас есть уравнение, в котором все числа четные, и оно соответствует нашей задаче. Таким образом, мы можем представить 10 как сумму двух четных чисел, например, 2 + 8.

Это означает, что \(a_1 = b_1 = 2\) и \(a_2 = b_2 = 8\).

Теперь мы можем найти количество ступенек на втором этаже:

\[А_2 + Б_2 = 2 \cdot a_2 + 2 \cdot b_2 = 2 \cdot (2 + 8) = 20.\]

Таким образом, на втором этаже всего 20 ступенек. Однако, учитывая крайние шаги, добавим 2 ступеньки (по одной на каждый край) и получим итоговый ответ:

\[20 + 2 = 22.\]

Итак, правильный ответ на ваш вопрос - 22 ступеньки. Так что вариант ответа "22" является верным.