Question

Возвести в третью степень комплексное число z=9+3i Помогите пожалуйста решить.

Answer 1

Запоминаем = i² = - 1.
РЕШЕНИЕ
z³ = (9+3i)³ = (9+3i)*(9+3i)² = (9+3i)*(81+54i -9)= 9*72 + 486i + 3*72i - 162 =
= 486 + 702i - ОТВЕТ

Answer 2

Для возведения комплексного числа z = 9 + 3i в третью степень, мы можем использовать формулу де Муавра. Формула де Муавра позволяет нам выразить комплексное число в тригонометрической форме и затем возвести его в третью степень.

Формула де Муавра:

Для комплексного числа z = a + bi, где a и b - действительные числа, и i - мнимая единица, формула де Муавра выглядит следующим образом:

z^n = r^n * (cos(nθ) + i * sin(nθ))

где r = |z| - модуль комплексного числа z, определяется как квадратный корень из суммы квадратов его действительной и мнимой частей, и θ - аргумент комплексного числа z, определяется как арктангенс отношения между мнимой и действительной частями числа z.

Решение:

Для комплексного числа z = 9 + 3i, мы сначала найдем его модуль и аргумент.

Модуль |z| вычисляется следующим образом: |r| = sqrt(a^2 + b^2)

В нашем случае: |z| = sqrt(9^2 + 3^2) = sqrt(81 + 9) = sqrt(90)

Аргумент θ вычисляется следующим образом: θ = atan(b / a)

В нашем случае: θ = atan(3 / 9) = atan(1/3)

Теперь, когда у нас есть модуль и аргумент, мы можем использовать формулу де Муавра для возведения числа z в третью степень.

z^3 = (sqrt(90))^3 * (cos(3 * atan(1/3)) + i * sin(3 * atan(1/3)))

Вычисления:

Давайте вычислим каждую часть формулы по очереди:

1. Модуль |z|: |z| = sqrt(90) = 3 * sqrt(10)

2. Аргумент θ: θ = atan(1/3)

3. Возведение в третью степень: (sqrt(90))^3 = (3 * sqrt(10))^3 = 27 * 10 * sqrt(10) = 270 * sqrt(10)

cos(3 * atan(1/3)) = cos(3 * θ) sin(3 * atan(1/3)) = sin(3 * θ)

Теперь мы можем записать результат в тригонометрической форме:

z^3 = 270 * sqrt(10) * (cos(3 * atan(1/3)) + i * sin(3 * atan(1/3)))

Ответ:

Таким образом, комплексное число z = 9 + 3i в третьей степени равно 270 * sqrt(10) * (cos(3 * atan(1/3)) + i * sin(3 * atan(1/3))).

Пожалуйста, обратите внимание, что это является общим ответом, выраженным в тригонометрической форме. Если вам нужно получить числовое значение, вы можете использовать калькулятор или программу для вычисления конкретных значений.