Question

Найдите значение производной функции y=√x*ln x в точке x₀=1

Answer 1

Y'=1/2√x * lnx + √x*1/x


y'(x0) = 1/2√1 * ln1 + √1 * 1/1 = 1/2* 0 + 1*1 = 0+1=1

Answer 2

Чтобы найти значение производной функции \(y = \sqrt{x} \cdot \ln{x}\) в точке \(x_0 = 1\), давайте воспользуемся правилом производной произведения.

Исходная функция:

\[y = \sqrt{x} \cdot \ln{x}\]

Обозначим первую часть функции как \(u = \sqrt{x}\) и вторую часть как \(v = \ln{x}\). Тогда:

\[y = u \cdot v\]

Теперь найдем производные \(u'\) и \(v'\):

\[u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

\[v' = \frac{1}{x}\]

Теперь используем правило производной произведения:

\[y' = u'v + uv'\]

Подставим значения:

\[y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \ln{x} + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x}\]

Теперь подставим \(x_0 = 1\) в полученное выражение:

\[y'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} \cdot \ln{1} + \sqrt{1} \cdot \frac{1}{1}\]

Упростим:

\[y'(1) = \frac{1}{2} \cdot 0 + 1 \cdot 1\]

\[y'(1) = 1\]

Таким образом, значение производной функции \(y = \sqrt{x} \cdot \ln{x}\) в точке \(x_0 = 1\) равно 1.