Question

Решите уравнение 2cos^2 x - 3sin x=0

Answer 1

2cos²x-3sinx=0
2*(1-sin²x)-3sinx=0
2sin²x+3sinx-2=0
sinx=t, t∈[-1;1]
2t²+3t-2=0
D=3²-4*2*(-2)=25
t₁=(-3-5)/4, t₁=-2, -2∉[-1;1] 
t₂=(-3+5)/4, t₂=1/2

sinx=1/2
x=(-1)^n*arcsin(1/2)+πn, n∈Z
x=(-1)^n*(π/6)+πn, n∈Z

Answer 2

Давайте решим уравнение \(2\cos^2(x) - 3\sin(x) = 0\).

Сначала преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества. Используем тождество \(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)\):

\[2(1 - \sin^2(x)) - 3\sin(x) = 0.\]

Раскрываем скобки:

\[2 - 2\sin^2(x) - 3\sin(x) = 0.\]

Теперь объединим все слагаемые в одну сторону уравнения:

\[2 - 2\sin^2(x) - 3\sin(x) = 0.\]

\[2\sin^2(x) + 3\sin(x) - 2 = 0.\]

Теперь это уравнение квадратное относительно \(\sin(x)\). Мы можем решить его с использованием квадратного уравнения или факторизации. Давайте воспользуемся факторизацией.

\[(2\sin(x) - 1)(\sin(x) + 2) = 0.\]

Это уравнение будет равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. \(2\sin(x) - 1 = 0\), что приводит к \(\sin(x) = \frac{1}{2}\). 2. \(\sin(x) + 2 = 0\), что приводит к \(\sin(x) = -2\).

Однако второе уравнение не имеет решений в диапазоне значений для синуса (от -1 до 1). Таким образом, мы рассматриваем только первое уравнение.

\[\sin(x) = \frac{1}{2}.\]

Теперь найдем значения \(x\) в диапазоне от 0 до \(2\pi\), так как мы работаем с тригонометрическим уравнением:

\[x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}.\]

Таким образом, уравнение \(2\cos^2(x) - 3\sin(x) = 0\) имеет два решения: \(x = \frac{\pi}{6}\) и \(x = \frac{5\pi}{6}\).