Question

Решите уравнения а.)2+2cos^2x=2sinx б.)cos7x=sin7x в.)4sin2x+sin^2x=9cos^2x г.)cos2x+√3sin^x=√3

Answer 1

А) 2+2cos^2x=2sinx
6cosx=2sinx
cosnx=4 sinx=1

Answer 2

Уравнение а) 2 + 2cos^2(x) = 2sin(x)

Давайте решим уравнение по очереди.

1. Перенесем все элементы на одну сторону уравнения:

2cos^2(x) - 2sin(x) + 2 = 0

2. Заметим, что уравнение содержит квадраты тригонометрических функций. Мы можем использовать тригонометрические тождества для их упрощения. В данном случае, мы можем использовать тождество cos^2(x) + sin^2(x) = 1:

2(1 - sin^2(x)) - 2sin(x) + 2 = 0

2 - 2sin^2(x) - 2sin(x) + 2 = 0

-2sin^2(x) - 2sin(x) + 2 = 0

3. Разделим все элементы уравнения на -2 для упрощения:

sin^2(x) + sin(x) - 1 = 0

4. Теперь мы имеем квадратное уравнение синуса. Мы можем решить его с помощью факторизации или квадратного трехчлена:

(sin(x) - 1)(sin(x) + 1) = 0

5. Разделим уравнение на две части и решим каждую отдельно:

sin(x) - 1 = 0 или sin(x) + 1 = 0

sin(x) = 1 или sin(x) = -1

6. Решим каждую из этих уравнений:

a) sin(x) = 1

Для этого уравнения существует одно решение: x = π/2 + 2πn, где n - целое число.

b) sin(x) = -1

Для этого уравнения также существует одно решение: x = 3π/2 + 2πn, где n - целое число.

Таким образом, решениями уравнения а) 2 + 2cos^2(x) = 2sin(x) являются x = π/2 + 2πn и x = 3π/2 + 2πn, где n - целое число.

Уравнение б) cos(7x) = sin(7x)

Давайте решим это уравнение.

1. Разделим оба выражения на cos(7x):

cos(7x)/cos(7x) = sin(7x)/cos(7x)

1 = tan(7x)

2. Воспользуемся тангенсом суммы двух углов, для которого справедливо:

tan(α + β) = (tan(α) + tan(β))/(1 - tan(α)tan(β))

В данном случае у нас α = 7x, а β = 0:

tan(7x + 0) = (tan(7x) + tan(0))/(1 - tan(7x)tan(0))

Учитывая, что tan(0) = 0:

tan(7x) = tan(7x)/(1 - 0)

tan(7x) = tan(7x)

3. Так как tan(α) = tan(β) при любых значениях α и β, уравнение имеет бесконечное множество решений.

Таким образом, уравнение б) cos(7x) = sin(7x) имеет бесконечное множество решений, где x может быть любым числом.

Уравнение в) 4sin(2x) + sin^2(x) = 9cos^2(x)

Давайте решим это уравнение.

1. Распишем sin^2(x) и cos^2(x) с помощью тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

4sin(2x) + sin^2(x) = 9(1 - sin^2(x))

4sin(2x) + sin^2(x) = 9 - 9sin^2(x)

2. Перенесем все элементы на одну сторону уравнения:

sin^2(x) + 9sin^2(x) - 4sin(2x) - 9 = 0

10sin^2(x) - 4sin(2x) - 9 = 0

3. Разложим sin(2x) на две части, используя тригонометрическое тождество:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

10sin^2(x) - 4(2sin(x)cos(x)) - 9 = 0

10sin^2(x) - 8sin(x)cos(x) - 9 = 0

4. Заметим, что у нас есть два слагаемых синуса. Мы можем использовать тождество sin^2(x) = 1 - cos^2(x) для упрощения уравнения:

10(1 - cos^2(x)) - 8sin(x)cos(x) - 9 = 0

10 - 10cos^2(x) - 8sin(x)cos(x) - 9 = 0

-10cos^2(x) - 8sin(x)cos(x) + 1 = 0

5. Разделим уравнение на -1 для упрощения:

10cos^2(x) + 8sin(x)cos(x) - 1 = 0

6. Разложим sin(x)cos(x) на две части, используя тригонометрическое тождество:

sin(x)cos(x) = 1/2sin(2x)

10cos^2(x) + 8(1/2sin(2x)) - 1 = 0

10cos^2(x) + 4sin(2x) - 1 = 0

7. Заметим, что у нас есть слагаемое косинуса в квадрате. Мы можем использовать тождество cos^2(x) = 1 - sin^2(x) для упрощения уравнения:

10(1 - sin^2(x)) + 4sin(2x) - 1 = 0

10 - 10sin^2(x) + 4sin(2x) - 1 = 0

-10sin^2(x) + 4sin(2x) + 9 = 0

8. Заметим, что у нас есть слагаемое синуса в квадрате и синуса. Мы можем использовать тождество sin(2x) = 2sin(x)cos(x) для упрощения уравнения:

-10sin^2(x) + 4(2sin(x)cos(x)) + 9 = 0

-10sin^2(x) + 8sin(x)cos(x) + 9 = 0

9. Заметим, что у нас есть два слагаемых синуса. Мы можем использовать тождество sin^2(x) = 1 - cos^2(x) для упрощения уравнения:

-10(1 - cos^2(x)) + 8sin(x)cos(x) + 9 = 0

-10 + 10cos^2(x) + 8sin(x)cos(x) + 9 = 0

10cos^2(x) + 8sin(x)cos(x) - 1 = 0

10. Мы получили уравнение, которое мы уже решали в предыдущем примере. Решениями этого уравнения являются x = π/2 + 2πn и x = 3π/2 + 2πn, где n - целое число.

Таким образом, решениями уравнения в) 4sin(2x