Question

Объясните как решать cos2x + 3sinx - 2=0 cos именно двойного угла, а не в квадрате!

Answer 1

Cos2x+3sinx-2=0
cos2x=1-2sin²x
1-2sin²x+3sinx-2=0
2sin²x-3sinx+1=0 тригонометрическое квадратное уравнение, замена переменной.
sinx=t, t∈[-1;1]
2t²-3t+1=0
t₁=1, t₂=1/2
обратная замена:
$t_{1} =1, sinx=1. x= \frac{ \pi }{2} +2 \pi n,n$∈Z

$t _{2} = \frac{1}{2} , sinx= \frac{1}{2} x=(-1) ^{n} *arcsin \frac{1}{2}+ \pi n x=(-1) ^{n} * \frac{ \pi }{6}+ \pi n,$
n∈Z

Answer 2

Для решения уравнения cos(2x) + 3sin(x) - 2 = 0, где требуется найти значение cos двойного угла, а не его квадрата, мы можем использовать тригонометрические тождества и преобразования.

Преобразование cos(2x) в термины sin(x):

Мы можем использовать тригонометрическое тождество cos(2x) = 1 - 2sin^2(x) для замены cos(2x) в уравнении. Подставим это тождество в уравнение:

1 - 2sin^2(x) + 3sin(x) - 2 = 0

Преобразование уравнения:

Теперь у нас есть уравнение только с sin(x). Давайте приведем его к квадратному виду:

-2sin^2(x) + 3sin(x) - 1 = 0

Решение квадратного уравнения:

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для этого мы можем использовать методы решения квадратных уравнений, такие как факторизация, метод квадратного корня или формулу дискриминанта.

Факторизация:

Попробуем сначала факторизовать уравнение. Мы ищем два числа, которые перемножаются, чтобы дать -2 и складываются, чтобы дать 3. В данном случае, такие числа -1 и 2. Факторизуем уравнение:

(-2sin(x) + 1)(sin(x) - 1) = 0

Решение факторизованного уравнения:

Теперь мы можем решить каждый из двух множителей равенства отдельно:

-2sin(x) + 1 = 0 или sin(x) - 1 = 0

Решение первого уравнения:

-2sin(x) + 1 = 0 2sin(x) = 1 sin(x) = 1/2

Решение второго уравнения:

sin(x) - 1 = 0 sin(x) = 1

Решение исходного уравнения:

Таким образом, мы получили два возможных значения sin(x): 1/2 и 1. Чтобы найти значения x, мы можем использовать обратные тригонометрические функции, такие как arcsin или sin^(-1).

Решение для sin(x) = 1/2:

Для sin(x) = 1/2, мы можем найти значения x, используя обратную функцию arcsin:

x = arcsin(1/2)

Решение для sin(x) = 1:

Для sin(x) = 1, мы также можем найти значения x, используя обратную функцию arcsin:

x = arcsin(1)

Окончательные ответы:

Таким образом, мы получили два возможных значения x, которые удовлетворяют исходному уравнению cos(2x) + 3sin(x) - 2 = 0, где cos(2x) - это значение cos двойного угла:

x = arcsin(1/2) и x = arcsin(1)

Пожалуйста, обратите внимание, что для получения конкретных численных значений x, необходимо использовать калькулятор или таблицу значений тригонометрических функций.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.