Question

Вычислить. Интеграл от 0 до 4(3x-e^x)dx

Answer 1

$\int\limits^4_0 {(3x-e^x)} \, dx =3x^2/2-e^x|^4_0=24-e^4-0+e^0=24-e^4+1=$$25-e^4$

Answer 2

Чтобы вычислить данный интеграл, мы можем разбить его на два отдельных интеграла и использовать правила интегрирования для каждого слагаемого.

Интеграл от (3x - e^x)dx может быть записан как сумма интегралов от 3x и -e^x:

∫(3x - e^x)dx = ∫(3x)dx - ∫(e^x)dx

Интеграл ∫(3x)dx:

Для интегрирования функции 3x по отношению к x, мы можем использовать правило интегрирования для мономов. Интеграл от x в степени n равен (x^(n+1))/(n+1). В данном случае, нам нужно интегрировать функцию 3x, поэтому n = 1.

∫(3x)dx = (3/2)x^2 + C1

где C1 - произвольная постоянная.

Интеграл ∫(-e^x)dx:

Для интегрирования функции -e^x по отношению к x, мы можем использовать правило интегрирования для экспоненциальных функций. Интеграл от e^x равен e^x. В данном случае, у нас есть -e^x, поэтому мы должны учесть знак минуса.

∫(-e^x)dx = -e^x + C2

где C2 - произвольная постоянная.

Суммируя два интеграла:

Теперь, когда у нас есть интегралы от обоих слагаемых, мы можем сложить их, чтобы получить окончательный результат:

∫(3x - e^x)dx = (3/2)x^2 - e^x + C

где C = C1 + C2 - итоговая произвольная постоянная.

Таким образом, интеграл от 0 до 4 от (3x - e^x)dx равен:

∫[0,4](3x - e^x)dx = [(3/2)x^2 - e^x] | [0,4]

Подставим верхний предел интегрирования (4) и вычтем значение интеграла при нижнем пределе интегрирования (0):

[(3/2)(4)^2 - e^(4)] - [(3/2)(0)^2 - e^(0)]

= [(3/2)(16) - e^(4)] - [0 - 1]

= (24 - e^(4)) - (-1)

= 25 - e^(4)

Поэтому, интеграл от 0 до 4 от (3x - e^x)dx равен 25 - e^(4).