Question

Найдите наименьшее значение функции y=13+75x-x^3 на отрезке -5;5

Answer 1

Ответ:

-237

Пошаговое объяснение:

y = -x^3 + 75x + 13

Значения на концах отрезков

y(-5) = -(-125) + 75(-5) + 13 = 125 - 375 + 13 = -237

y(5) = -125 + 75*5 + 13 = -125 + 375 + 13 = 263

Находим экстремумы

y ' = -3x^2 + 75 = 0

3x^2 = 75

x^2 = 25

x1 = -5; x2 = 5

Точки экстремумов совпадают с концами отрезка.

Минимальное значение y(-5) = -237

Answer 2

Чтобы найти наименьшее значение функции \(y = 13 + 75x - x^3\) на заданном отрезке \([-5, 5]\), нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем критические точки функции, где её производная равна нулю или не существует. 2. Исследуем значения функции на концах отрезка и найденных критических точках. 3. Найдем точки, где функция достигает минимума.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\):

\[y' = 75 - 3x^2.\]

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\[75 - 3x^2 = 0.\]

Решим это уравнение:

\[3x^2 = 75.\]

\[x^2 = 25.\]

\[x = \pm 5.\]

Таким образом, у нас есть две критические точки: \(x = -5\) и \(x = 5\).

Шаг 2: Теперь найдем значения функции на концах отрезка и критических точках.

Для \(x = -5\): \(y = 13 + 75(-5) - (-5)^3 = -413\).

Для \(x = 5\): \(y = 13 + 75(5) - (5)^3 = 337\).

Для \(x = -5\) и \(x = 5\) у нас есть две критические точки: \((-5, -413)\) и \((5, 337)\).

Шаг 3: Теперь нужно сравнить значения функции в найденных точках. Минимальное значение будет находиться в одной из этих точек.

Сравнив значения, видим, что наименьшее значение функции \(y\) равно -413 и достигается при \(x = -5\).

Таким образом, минимальное значение функции \(y = 13 + 75x - x^3\) на отрезке \([-5, 5]\) равно -413 и достигается при \(x = -5\).