Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=2x^3+3x^2-36x на отрезке [-4;3]

Answer 1

F'(x)=6x^2+6x-36
точки экстремумов f'(x)=0
 6x^2+6x-36=0
x^2+x-6=0
x1=2 минимум
x2=−3 максимум
f(-3)=2*(-3)^3+3*(-3)^2-36*(-3)=-54+27+108=81
локальный максимум (-3;81)
f(3)=2*3^3+3*3^2-36*3=54+27-108=-27
максимум в крайних точках (3;-27)
локальный максимум (-3;81) является максимумом функции на отрезке
[-4;3]

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x на отрезке [-4; 3], мы можем использовать методы дифференциального исчисления.

Нахождение экстремумов

Первым шагом будет найти критические точки функции, то есть значения x, где производная функции равна нулю или не существует. Для этого возьмем производную функции f'(x):

f'(x) = 6x^2 + 6x - 36

Теперь найдем значения x, для которых производная равна нулю:

6x^2 + 6x - 36 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью факторизации, полного квадратного трехчлена или квадратного корня. В данном случае, мы можем применить полный квадратный трехчлен:

6(x^2 + x - 6) = 0

6(x + 3)(x - 2) = 0

Из этого уравнения мы получаем две критические точки: x = -3 и x = 2.

Определение экстремумов

Теперь, чтобы определить, являются ли эти критические точки максимумами или минимумами, нам нужно проанализировать вторую производную функции f(x). Возьмем вторую производную:

f''(x) = 12x + 6

Подставим критические точки во вторую производную:

f''(-3) = 12(-3) + 6 = -30 f''(2) = 12(2) + 6 = 30

Знак второй производной определяет тип экстремума. Если f''(x) > 0, то это минимум, а если f''(x) < 0, то это максимум.

Для x = -3, f''(-3) < 0, следовательно, это будет максимум. Для x = 2, f''(2) > 0, следовательно, это будет минимум.

Нахождение значений функции

Теперь, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-4; 3], мы должны вычислить значения функции f(x) в крайних точках отрезка и в найденных экстремумах.

f(-4) = 2(-4)^3 + 3(-4)^2 - 36(-4) = -224 f(3) = 2(3)^3 + 3(3)^2 - 36(3) = -9 f(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 36(-3) = 90 f(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 36(2) = -40

Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке [-4; 3] равно 90, а наименьшее значение равно -224.