Question

Пожалуйста. Помогите. Даю 50 баллов. в треугольнике mnk задан координатами своих вершин М(4;1); N(7;3); К(2;4). Найдите углу треуголника.

Answer 1

Все углы равны по 60. ............

Answer 2

Для нахождения углов треугольника, заданного координатами его вершин, можно воспользоваться тригонометрическими функциями и формулами. Углы в треугольнике можно найти с использованием координатных векторов вершин.

Пусть \( \vec{MA} = \langle x_A - x_M, y_A - y_M \rangle \), \( \vec{MB} = \langle x_B - x_M, y_B - y_M \rangle \), тогда угол между векторами можно найти по формуле:

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{MA} \cdot \vec{MB}}{\|\vec{MA}\| \cdot \|\vec{MB}\|} \]

где \(\cdot\) обозначает скалярное произведение векторов, а \(\|\vec{MA}\|\) - длина вектора \( \vec{MA} \).

Применяем это к углу \(\angle M\):

\[ \cos(\angle M) = \frac{\vec{MA} \cdot \vec{MB}}{\|\vec{MA}\| \cdot \|\vec{MB}\|} \]

Точки \(M(4;1)\), \(N(7;3)\), \(K(2;4)\), поэтому:

\[ \vec{MA} = \langle 2, 3 \rangle \] \[ \vec{MB} = \langle -2, 2 \rangle \]

Теперь вычисляем:

\[ \vec{MA} \cdot \vec{MB} = (2 \cdot -2) + (3 \cdot 2) = -4 + 6 = 2 \] \[ \|\vec{MA}\| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \] \[ \|\vec{MB}\| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

Теперь подставим значения в формулу:

\[ \cos(\angle M) = \frac{2}{\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{26}} \]

Таким образом, угол \(\angle M\) можно найти, взяв арккосинус от \( \frac{1}{\sqrt{26}} \):

\[ \angle M = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{26}}\right) \]

Используйте калькулятор для вычисления численного значения.