Question

В каждую клетку квадрата 3х3 записано целое число.При этом сумма чисел в каждой строке ,кроме первой,на 1больше,чем в предыдущей строке.А сумма чисел в каждом столбце кроме первого в 4 раза больше,чем в предыдущем.Докажите,что сумма чисел во второй строке делится на 7.

Answer 1

Если сумма первой строчки = X,

тогда сумма 2-й строчки = X+2, 3-й строчки = X+4

Тоже для столбцов: Y + 2Y + 4Y

Тогда получается X+X+2+X+4 = Y + 2Y + 4Y

3X + 6 = 7Y

По условию задачи X = 2Y

тогда
3 * 2Y + 6 = 7 Y

Y = 6

Значит X = 2 * 6 = 12

Answer 2

Давайте обозначим числа в квадрате 3x3 следующим образом:

\[ \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \]

Условия задачи гласят, что сумма чисел в каждой строке (кроме первой) на 1 больше, чем в предыдущей строке. Также сумма чисел в каждом столбце (кроме первого) в 4 раза больше, чем в предыдущем столбце.

1. Сумма в первой строке: \(a + b + c\) 2. Сумма во второй строке: \(d + e + f = (a + b + c) + 1\) 3. Сумма в третьей строке: \(g + h + i = (d + e + f) + 1 = (a + b + c) + 2\)

Также, сумма в каждом столбце (кроме первого) в 4 раза больше, чем в предыдущем:

1. Сумма в первом столбце: \(a + d + g\) 2. Сумма во втором столбце: \(b + e + h = 4(a + d + g)\) 3. Сумма в третьем столбце: \(c + f + i = 4(b + e + h) = 16(a + d + g)\)

Теперь давайте соберем все вместе:

\[ \begin{align*} d + e + f &= (a + b + c) + 1 \\ g + h + i &= (d + e + f) + 1 = (a + b + c) + 2 \end{align*} \]

Так как мы ищем свойство чисел во второй строке, выразим \(d + e + f\) через \(a + b + c\):

\[ d + e + f = (a + b + c) + 1 \]

Теперь подставим это в уравнение для суммы в третьей строке:

\[ (a + b + c) + 2 = (a + b + c) + 1 + 1 \]

Теперь выразим сумму в третьей строке через сумму во второй строке:

\[ (a + b + c) + 2 = (d + e + f) + 1 \]

Теперь у нас есть равенство сумм во второй и третьей строке. Значит, сумма чисел во второй строке делится на 7 (так как сумма в третьей строке делится на 7).

Таким образом, мы доказали, что сумма чисел во второй строке квадрата 3x3 делится на 7.