Question

Найдите ординаты точек графика функции f(x)=x-1/x^2 , в которых касательная к графику этой функции параллельна прямой y = 3х

Answer 1

Производная первой функции равна 3x
откуда x=-1
откуда ордината = -2

Answer 2

Для того чтобы найти точки на графике функции f(x) = x - 1/x^2, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 3x, мы должны найти точки пересечения этих двух кривых.

Для начала, найдем производную функции f(x) по x, чтобы найти уравнение касательной к графику функции в каждой точке. Производная функции f(x) равна:

f'(x) = 1 + 2/x^3

Теперь у нас есть уравнение касательной к графику функции f(x) в каждой точке. Чтобы эта касательная была параллельна прямой y = 3x, их угловые коэффициенты должны быть равны. Угловой коэффициент прямой y = 3x равен 3.

Итак, уравнение касательной имеет вид y = 3x + b. Чтобы найти точки пересечения графика функции f(x) и касательной, мы должны решить систему уравнений:

1 + 2/x^3 = 3

Решая это уравнение, мы найдем значения x, которые соответствуют точкам пересечения. Подставляя найденные значения x обратно в уравнение f(x), мы найдем соответствующие значения y.

Позвольте мне решить это уравнение для вас.

Решение:

1 + 2/x^3 = 3

Вычитаем 1 из обеих частей уравнения:

2/x^3 = 2

Перемножаем обе части уравнения на x^3:

2 = 2x^3

Делим обе части на 2:

1 = x^3

Корень кубический от 1 равен 1:

x = 1

Теперь мы знаем, что точка пересечения графика функции f(x) и касательной находится при x = 1. Чтобы найти соответствующее значение y, мы подставляем x = 1 в уравнение f(x):

f(1) = 1 - 1/1^2 = 1 - 1 = 0

Таким образом, точка пересечения графика функции f(x) и касательной параллельной прямой y = 3x равна (1, 0).

Итак, единственная точка на графике функции f(x), в которой касательная параллельна прямой y = 3x, имеет координаты (1, 0).