Question

При яких значеннях а і b многочлен x^5-4x^4-6x^3+ax^2-31-b ділиться без остачі на x^2-x+5?

Answer 1

Якщо що-небудь буде незрозуміло — запитуйте. Якщо моя відповідь виявилася корисною, нажимайте «спасибі» й відмічайте її як «найкращу відповідь».

Answer 2

Щоб з'ясувати, при яких значеннях \(a\) і \(b\) даний многочлен \(x^5 - 4x^4 - 6x^3 + ax^2 - 31 - b\) ділиться на \(x^2 - x + 5\) без залишку, ми можемо використати метод ділення поліномів.

Метод ділення поліномів аналогічний до ділення чисел. Якщо \(P(x)\) ділиться на \(Q(x)\) без залишку, то залишок від ділення \(P(x)\) на \(Q(x)\) буде рівний нулю.

Отже, давайте розпочнемо ділення многочлена \(x^5 - 4x^4 - 6x^3 + ax^2 - 31 - b\) на \(x^2 - x + 5\):

             _________________
x^2 - x + 5 | x^5 - 4x^4 - 6x^3 + ax^2 + 0x - 31 - b

Щоб визначити \(a\) і \(b\), потрібно розподілити \(x^5 - 4x^4 - 6x^3 + ax^2 - 31 - b\) на \(x^2 - x + 5\) методом ділення. Після ділення ми отримаємо залишок, який має дорівнювати нулю.

Давайте проведемо операції:

1. Поділимо \(x^5\) на \(x^2\), щоб отримати \(x^3\). 2. Помножимо \(x^3\) на \(x^2 - x + 5\) і отримаємо \(x^5 - x^4 + 5x^3\). 3. Віднімемо це від \(x^5 - 4x^4 - 6x^3\), щоб отримати \(-3x^4 - 11x^3\). 4. Поділимо \(-3x^4\) на \(x^2\), щоб отримати \(-3x^2\). 5. Помножимо \(-3x^2\) на \(x^2 - x + 5\) і отримаємо \(-3x^4 + 3x^3 - 15x^2\). 6. Віднімемо це від \(-3x^4 - 11x^3\), щоб отримати \(14x^3 - 15x^2\). 7. Поділимо \(14x^3\) на \(x^2\), щоб отримати \(14x\). 8. Помножимо \(14x\) на \(x^2 - x + 5\) і отримаємо \(14x^3 - 14x^2 + 70x\). 9. Віднімемо це від \(14x^3 - 15x^2\), щоб отримати \(x^2 - 70x\). 10. Поділимо \(x^2\) на \(x^2\), щоб отримати \(1\). 11. Помножимо \(1\) на \(x^2 - x + 5\) і отримаємо \(x^2 - x + 5\). 12. Віднімемо це від \(x^2 - 70x\), щоб отримати \(69x - 5\).

Отже, залишок від ділення \(x^5 - 4x^4 - 6x^3 + ax^2 - 31 - b\) на \(x^2 - x + 5\) дорівнює \(69x - 5\).

Залишок повинен бути рівний нулю для того, щоб ділення було без залишку, тобто:

\[69x - 5 = 0\]

Звідси ми можемо знайти значення \(x\):

\[x = \frac{5}{69}\]

Отже, це необхідна умова, при якій даний многочлен буде ділитися на \(x^2 - x + 5\) без залишку. Щоб точно визначити значення \(a\) і \(b\), можливо, потрібно додаткову інформацію або перевірити умову залишку \(69x - 5 = 0\) ще раз.