Question

Остаток от деления некоторого натурального числа на 6 равен 4, остаток от деления на 15 равен 7. Чему равен остаток от деления числа на 30?

Answer 1

Методом подстановки =52
52/6=8(ост. 4)
52/15=3(ост. 7)
52/30=1(ост. 22)

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать метод китайской теоремы об остатках.

По условию, у нас есть два уравнения:

x ≡ 4 (mod 6) x ≡ 7 (mod 15)

Для решения этой системы уравнений, мы можем использовать расширенный алгоритм Евклида.

Шаг 1: Решение первого уравнения У нас есть x ≡ 4 (mod 6). Чтобы найти решение этого уравнения, мы можем рассмотреть последовательность чисел 4, 10, 16, 22, ... и так далее, пока не найдем число, которое делится на 6 без остатка. В данном случае, это число будет 22.

Шаг 2: Решение второго уравнения У нас есть x ≡ 7 (mod 15). Аналогично первому уравнению, мы можем рассмотреть последовательность чисел 7, 22, 37, 52, ... и так далее, пока не найдем число, которое делится на 15 без остатка. В данном случае, это число будет 52.

Шаг 3: Решение системы уравнений Теперь у нас есть два числа, которые удовлетворяют обоим уравнениям: 22 и 52. Чтобы найти решение системы уравнений, мы можем использовать теорему китайского остатка.

Обозначим первое число как a1 (a1 = 22) и второе число как a2 (a2 = 52). Также обозначим модули как m1 (m1 = 6) и m2 (m2 = 15).

Теорема китайского остатка утверждает, что существует единственное число x, которое удовлетворяет обоим уравнениям и лежит в промежутке от 0 до m1*m2 (в данном случае, 0 до 6*15 = 90).

Формула для нахождения x выглядит следующим образом: x = a1 * m2 * y1 + a2 * m1 * y2 (mod m1 * m2)

где y1 и y2 - обратные элементы для m2 и m1 соответственно.

В нашем случае, m1*m2 = 6*15 = 90. Найдем обратные элементы для m1 и m2.

Для m1 = 6: 6 * 1 ≡ 1 (mod 6) 6 * 2 ≡ 0 (mod 6) 6 * 3 ≡ 0 (mod 6) 6 * 4 ≡ 0 (mod 6) 6 * 5 ≡ 0 (mod 6)

Таким образом, обратный элемент для m1 не существует.

Для m2 = 15: 15 * 1 ≡ 1 (mod 15) 15 * 2 ≡ 0 (mod 15) 15 * 3 ≡ 0 (mod 15) 15 * 4 ≡ 0 (mod 15) 15 * 5 ≡ 0 (mod 15) 15 * 6 ≡ 0 (mod 15) 15 * 7 ≡ 1 (mod 15) 15 * 8 ≡ 0 (mod 15) 15 * 9 ≡ 0 (mod 15) 15 * 10 ≡ 0 (mod 15) 15 * 11 ≡ 0 (mod 15) 15 * 12 ≡ 0 (mod 15) 15 * 13 ≡ 1 (mod 15) 15 * 14 ≡ 0 (mod 15)

Таким образом, обратные элементы для m2 равны 1 и 13.

Теперь, подставим значения в формулу: x = 22 * 15 * 1 + 52 * 6 * 13 (mod 90)

Вычисляя это выражение, получаем: x ≡ 22 * 15 * 1 + 52 * 6 * 13 (mod 90) x ≡ 330 + 4056 (mod 90) x ≡ 4386 (mod 90)

Теперь, чтобы найти остаток от деления числа на 30, мы можем вычислить x mod 30: x ≡ 4386 (mod 90) x ≡ 6 (mod 30)

Ответ: Остаток от деления числа на 30 равен 6.