Question

Число a при делении на b дает остаток r. Какой остаток при делении на b дает число −2a?

Answer 1

$a=bq+r, \ 0\ \textless \ r\ \textless \ b, \\ 2a=2bq+2r, \ 0\ \textless \ 2r\ \textless \ 2b,\\ 1) 0\ \textless \ r\ \textless \ \frac{b}{2}, \ 2r\ \textless \ b, \ 2a=2bq+2r; \\ 2) r=\frac{b}{2}, \ 2r=b, \ 2a=2bq+2r=2bq+b=(2q+1)b; \\ 3) r\ \textgreater \ \frac{b}{2}, \ b\ \textless \ 2r\ \textless \ 2b, \ 2a=2bq+2r=2bq+b+2r-b=\\=(2q+1)b+(2r-b).$
При делении числа 2a на b остаток будет 1) 2r, если r<b/2, 2) 0, если r=b/2, 3) 2r-b, если r>b/2.

Answer 2

Остаток при делении числа a на b равен r, что можно записать как a ≡ r (mod b).

Чтобы найти остаток при делении числа -2a на b, мы можем воспользоваться свойством остатков при умножении на константу.

Для любой константы k и чисел x и y, если x ≡ y (mod b), то kx ≡ ky (mod b).

Применяя это свойство к нашему случаю, мы можем умножить обе части равенства a ≡ r (mod b) на -2:

-2a ≡ -2r (mod b).

Таким образом, остаток при делении числа -2a на b будет -2r.