Question

Знайдіть найменше чотирицифрове число , яке при діленні на 2,3,5,7,11 дає в остачі 1.

Answer 1

2311
2х3х5х7х11+1=2311

Answer 2

Щоб знайти найменше чотирицифрове число, яке при діленні на 2, 3, 5, 7, 11 дає в остачі 1, ми можемо скористатися китайською теоремою про залишки.

Китайська теорема про залишки стверджує, що якщо ми маємо систему конгруенцій:

x ≡ a1 (mod m1) x ≡ a2 (mod m2) ... x ≡ an (mod mn)

де m1, m2, ..., mn - попарно прості числа, а a1, a2, ..., an - деякі цілі числа, то існує єдине рішення x (mod m), де m = m1 * m2 * ... * mn.

У нашому випадку, ми маємо систему конгруенцій:

x ≡ 1 (mod 2) x ≡ 1 (mod 3) x ≡ 1 (mod 5) x ≡ 1 (mod 7) x ≡ 1 (mod 11)

За китайською теоремою про залишки, ми можемо знайти рішення для x (mod m), де m = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 = 2310.

Таким чином, найменше чотирицифрове число, яке задовольняє умову, буде найменшим невід'ємним рішенням системи конгруенцій x ≡ 1 (mod 2310).

Щоб знайти це число, ми можемо послідовно перебирати числа, починаючи з 1, і перевіряти, чи задовольняє воно умову. Після перевірки декількох чисел, ми знайдемо найменше чотирицифрове число, яке ділиться на 2310 з остачею 1.

Однак, цей процес може бути тривалим і витратити багато часу. Тому, щоб прискорити пошук, ми можемо скористатися фактом, що будь-яке число, яке ділиться на 2310 з остачею 1, також буде ділитися на 2310 * k + 1, де k - ціле число.

Отже, ми можемо перебирати числа 2311, 4621, 6931 і так далі, додавати до них 2310, поки не знайдемо найменше чотирицифрове число, яке задовольняє умову.

Після перевірки декількох чисел, ми знайдемо, що найменше чотирицифрове число, яке ділиться на 2, 3, 5, 7, 11 з остачею 1, є 2311.

Таким чином, найменше чотирицифрове число, яке задовольняє умову, є 2311.