Question

В интернате десять жилых комнат. Жители этих комнат просыпаются по очереди. Если дверь их комнаты на месте, то они снимают дверь какой-то другой комнаты и уносят её в подвал. Если же дверь их комнаты унесена, то они забирают из подвала любую дверь и вешают её на место своей. Могло ли в подвале оказаться ровно 5 дверей после того, как все проснулись?

Answer 1

Весёлая жизнь в этом интернате. Кина не надо!
Нет, 5 дверей быть не могло.
Допустим, все 10 дверей висят на комнатах. Тогда первые 5 проснувшихся унесут чужие двери в подвал.
А последние 5, проснувшиеся без дверей, принесут их обратно.
Теперь представим наоборот, что все 10 дверей были в подвале.
Тогда каждый, проснувшись, принесёт дверь себе.

Answer 2

Да, в подвале могло оказаться ровно 5 дверей после того, как все проснулись.

Предположим, что изначально в каждой комнате находилась дверь. Когда первый житель просыпается, он снимает дверь с какой-то другой комнаты и уносит ее в подвал. Теперь в его комнате нет двери, а в подвале находится одна дверь.

Когда второй житель просыпается, он видит, что дверь его комнаты отсутствует, поэтому он берет любую дверь из подвала и вешает ее на место своей комнаты. Теперь в его комнате есть дверь, а в подвале осталась одна дверь.

Таким образом, при каждом пробуждении жителей, одна дверь переходит в подвал, а одна дверь возвращается на место комнаты. Это означает, что после пробуждения каждого жителя количество дверей в подвале увеличивается на одну, а потом снова уменьшается на одну.

Так как всего в интернате 10 жилых комнат, то и всего будет 10 пробуждений жителей. Значит, после того, как все проснутся, в подвале будет находиться ровно 5 дверей.