Question

1. Вектор AB=a задан координатами своих концов : A(2;4;-3) и B(6;-3;1)Вычислите его длину и конусы углов, которые образует вектор с базисными векторами 2. Доказать, что векторы a=5i-2j+7k и b=3i+4j-k взаимно перпендикулярны 3. Найти координаты вектора m=AB-DC если даны координаты точек A(1;5;0), B(-3;2;-1), C(-2;0;3) и D(4;-5;-2)

Answer 1

1. $l=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}=\sqrt{(6-2)^2+(-3-4)^2+(1-(-3))^2}=\sqrt{16+49+16}=\sqrt{81}=9$

2. Найдем скалярное произведение: $p=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=5*3-2*4+7*(-1)=15-8-7=0$

Так как скалярное произведение равно 0, то векторы перпендикулярны.

3. $AB(-3-1; 2-5; -1-0)=AB(-4; -3; -1)$

$DC=(-2-4; 0-(-5); 3-(-2))=DC=(-6; 5; 5)$$m=AB-DC=(-4-(-6); -3-5; -1-5)=(2; -8; -6)$

Answer 2

1. Для вычисления длины вектора AB, можно воспользоваться формулой длины вектора: |AB| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2), где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты концов вектора AB.

В данном случае, координаты точки A: A(2, 4, -3), а координаты точки B: B(6, -3, 1).

|AB| = √((6 - 2)^2 + (-3 - 4)^2 + (1 - (-3))^2) = √(4^2 + (-7)^2 + 4^2) = √(16 + 49 + 16) = √81 = 9

Таким образом, длина вектора AB равна 9.

Чтобы найти косинусы углов, которые образует вектор AB с базисными векторами, нужно воспользоваться формулой косинуса угла между двумя векторами: cos(θ) = (a • b) / (|a| * |b|), где a • b - скалярное произведение векторов a и b, |a| и |b| - длины векторов a и b.

2. Для доказательства взаимной перпендикулярности векторов a и b, нужно проверить, что их скалярное произведение равно нулю: a • b = (5 * 3) + (-2 * 4) + (7 * -1) = 15 - 8 - 7 = 0

Таким образом, векторы a и b взаимно перпендикулярны.

3. Чтобы найти координаты вектора m = AB - DC, нужно вычислить разности соответствующих координат точек A, B, C и D: m = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1), где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты точек A и B, C и D.

В данном случае, координаты точки A: A(1, 5, 0), координаты точки B: B(-3, 2, -1), координаты точки C: C(-2, 0, 3) и координаты точки D: D(4, -5, -2).

m = (6 - (-3), 2 - (-5), (-1) - (-2)) = (9, 7, 1)

Таким образом, координаты вектора m равны (9, 7, 1).