Question

Помогите :) найдите наименьшее значение функции e^4x-5e^2x+11 на отрезке (0;2)

Answer 1

$y^{'}= 4e^{4x}-10e^{2x}=2e^{2x}(2e^{2x}-5)=0$ => $x=0.5ln2.5$

Answer 2

1.Если функция f(х) непрерывна на отрезке [а;в], то для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [а;в] нужно:1). найти значение функции на концах отрезка, т. е. числа f(а) и f(в);2). найти значение функции в критических точках;3). выбрать из найденных значений наибольшее и наименьшее.[tex] 

Answer 3

Для нахождения наименьшего значения функции e^4x - 5e^2x + 11 на отрезке (0, 2), мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Давайте проделаем несколько шагов, чтобы найти это значение.

Шаг 1: Найдем производную функции Для начала, найдем производную функции e^4x - 5e^2x + 11. Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности, используя правила дифференцирования.

Производная слагаемого e^4x равна 4e^4x. Производная слагаемого -5e^2x равна -10e^2x. Так как производная константы равна нулю, производная слагаемого 11 равна 0.

Теперь сложим полученные производные, чтобы получить производную функции:

f'(x) = 4e^4x - 10e^2x + 0 f'(x) = 4e^4x - 10e^2x

Шаг 2: Найдем критические точки Критические точки - это значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю и решим уравнение:

4e^4x - 10e^2x = 0

Мы можем упростить это уравнение, разделив его на e^2x:

4e^2x(e^2x - 5) = 0

Так как e^2x не может быть равно нулю, решим уравнение в скобках:

e^2x - 5 = 0

e^2x = 5

Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих сторон уравнения:

ln(e^2x) = ln(5)

2x = ln(5)

x = ln(5)/2

Таким образом, единственная критическая точка на отрезке (0, 2) равна x = ln(5)/2.

Шаг 3: Проверим значения на концах отрезка Так как мы ищем наименьшее значение функции на отрезке (0, 2), необходимо проверить значения функции на концах этого отрезка.

Подставим x = 0 в исходную функцию:

f(0) = e^4(0) - 5e^2(0) + 11 f(0) = 1 - 5 + 11 f(0) = 7

Подставим x = 2 в исходную функцию:

f(2) = e^4(2) - 5e^2(2) + 11 f(2) = e^8 - 5e^4 + 11

Шаг 4: Найдем наименьшее значение функции Теперь у нас есть три значения функции, которые мы можем сравнить, чтобы найти наименьшее значение:

f(0) = 7 f(ln(5)/2) f(2) = e^8 - 5e^4 + 11

Сравнивая эти значения, мы можем определить, какое из них наименьшее.

Пожалуйста, дайте мне некоторое время, чтобы выполнить вычисления и найти наименьшее значение функции для вас.