Question

Перпендикуляр, опущенный из вершины угла при основании равнобедренного треугольника на противоположную сторону, делит последнюю в отношении 1:2 (считая от основания треугольника). Найти углы треугольника.

Answer 1

Изобразим равнобедренный треугольник АВС с основанием АС и боковыми сторонами АВ=СВ. С вершины С опустим перпендикуляр СК на сторону АВ По условию АК / ВК=1 / 2.Пусть одна часть равна х, тогда АК=х, ВК=2х, АВ=3х, ВС= 3х.
Рассмотрим ΔВСК, он прямоугольный. Можно записать: cosB=2x/3x,
cosB=2/3=0,(6). ∠ABC≈48°. Углы при основании равны (180°-48°)/2≈66°.
Ответ: 48°, 66°, 66°.

Answer 2

Предположим, у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Пусть D - середина основания BC. Перпендикуляр, опущенный из вершины A на отрезок BC, попадает на точку D и делит сторону BC в отношении 1:2.

Теперь обозначим углы треугольника ABC следующим образом: - ∠A - угол при вершине A, - ∠B - угол при вершине B, - ∠C - угол при вершине C.

Также пусть ∠BAD = ∠CAD = α (угол между перпендикуляром и стороной BC).

Теперь мы можем рассмотреть треугольники ABD и ACD. В этих треугольниках у нас есть следующие факты:

1. AB = AC (задано в условии как равнобедренный треугольник). 2. AD - общая сторона (основание треугольников). 3. ∠BAD = ∠CAD = α (опущенные перпендикуляры).

Таким образом, по стороне-угол-стороне треугольники ABD и ACD равны (по теореме об угле-при-основании).

Теперь давайте рассмотрим отношение сторон BD и CD. По условию, BD:CD = 1:2. Так как AD - общая сторона, у нас есть следующее:

BD:CD = 1:2 = AD:AD

Таким образом, треугольники ABD и ACD равны по стороне-угол-стороне и по отношению сторон BD и CD.

Теперь мы можем сказать, что углы при вершинах B и C также равны (по соответствующим частям равных треугольников). Пусть этот угол равен β.

Теперь мы можем выразить углы треугольника ABC:

∠A = ∠BAD + ∠CAD = α + α = 2α ∠B = ∠C = β

Таким образом, угол A в два раза больше угла при вершине B или C, а углы B и C равны между собой.