Question

С помощью метода математической индукции докажите равенство: 1+5+9+.....+(4n-3)=n(2n-1)

Answer 1

Проверяем при n=1     
слева  только первое слагаемое 1 ,    справа 1·(2·1-1)=1
1=1
Предположим, что равенство верно при n=k
1+5+9+.....+(4k-3)=k(2k-1)
и используя это равенство докажем, что верно при n=k+1

1+5+9+.....+(4k-3)+(4k+4-3) =(k+1)(2k+2-1)    (**)
 
Для доказательства возьмем левую часть сведем к правой.
Заменим в левой части последнего равенства 1+5+9+.....+(4k-3) на k(2k-1).

Получим    k(2k-1) + (4k+4-3)=  упростим=2k²-k+4k+1=2k²+3k+1=(k+1)(2k+1)
А это и есть правая часть равенства ( **)
Согласно принципа математической индукции равенство верно для любого натурального n.