Question

Прошу помощи в решение задачи по математики. В задаче вычислить неопределенные интегралы.

Answer 1

$1)\; \; \int sinx\cdot cos^2x\cdot dx=-\int \, (cosx)^2\cdot d(cosx)=-\frac{(cosx)^3}{3}+C=\\\\=- \frac{cos^3x}{3}+C$

$2)\; \; \int \frac{x^3+2}{x^2+2x+4}\, dx=\int (x-2+ \frac{10}{x^2+2x+4} )\, dx=\\\\=\int \, (x-2+\frac{10}{(x+1)^2+3})\, dx=\frac{x^2}{2}-2x+10\cdot \int \frac{d(x+1)}{(x+1)^2+3} =\\\\= \frac{x^2}{2} -2x+10\cdot \frac{1}{\sqrt3}\cdot arctg \frac{x+1}{\sqrt3}+C$

$3)\; \; \int x^3\, lnx\, dx=[u=lnx,\; du=\frac{dx}{x},\; dv=x^3\, dx,\; v=\frac{x^4}{4}]=\\\\= \frac{x^4}{4}\cdot lnx- \int \frac{x^4}{4}\cdot \frac{dx}{x}= \frac{x^4}{4}\cdot lnx- \frac{1}{4}\int x^3\, dx=\\\\= \frac{x^4}{4}\cdot lnx-\frac{1}{16}\cdot x^4+C$

Answer 2

Раз

$\displaystyle \int \sin x\cos^2 x dx = -\int\cos^2 x d(\cos x) = -\frac{\cos^3 x}{3}+C$

Два

$\displaystyle \int\frac{x^3+2}{x^2+2x+4}dx = \int\left(x-2+\frac{10}{x^2+2x+4}\right)dx = \\\\ =x^2/2-2x+10\int\frac{d(x+1)}{3+(x+1)^2} =\\\\ x^2/2-2x+\frac{10}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\right)+C$

Три 
$\int x^3\ln x dx = 0.25\int \ln x d(x^4) = 0.25(x^4\ln x-\int x^3 dx) = \\-x^4/16+0.25x^4\ln x+C$