Question

Найти наименьшее число M, для которого неровность правильная при произвольных значениях числа x. (укр) Знайти найменше число M, для якого нерівність правильна при довільних значеннях числа x.

Answer 1

В картинке правильное решение для этой задачи. Сорри, первый раз невнимательно прочитал условие. Также вот еще одно решение, более короткое и хитрое:

${\frac {8\,{x}^{2}+24\,x+9}{8\,{x}^{2}+16\,x+16}}={\frac {9(x^2+2x+2)-({x}^{2}-6\,x+9)}{8({x}^{2}+2x+2)}}=\frac{9}{8}-\frac{(x-3)^2}{8({x}^{2}+2x+2)}$.

Максимум этого выражения достигается при x=3 и равен 9/8. Знаменатель всегда положителен, т.к. его дискриминант меньше 0. Т,е. при всех $M\ge 9/8$ исходное неравенство будет верно при всех действительных x. Значит минимальное такое М равно 9/8.