Question

Доказать что n³ - 4n делится на 48 при чётном n.

Answer 1

n - четное, поэтому n=2k, где k - целое число

n³ - 4n=n(n^2-4)=n(n-2)(n+2)=2k(2k-2)(2k+2)=8k(k-1)(k+1)

 

k,k-1,k+1- три последовательные целые числа, значит хотя бы одно из них делится на 2, и одно из них делится на 3

поэтому произведение 8k(k-1)(k+1) делится на 8*2*3=48, а значит и число n³ - 4n делится на 48. доказано