Question

Система: x^log7(y) +y^ log7(x) =98; log7(x)+ log7(y)=3

Answer 1

Свойство: $a^{\log_cb}=b^{\log_ca}$
$\begin{cases} & \text{ } y^{\log_7x}+y^{\log_7x}=98 \\ & \text{ } \log_7x+\log_7y=3 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } 2y^{\log_7x=98} \\ & \text{ } \log_7x+\log_7y=3 \end{cases}\Rightarrow\\ \\ \Rightarrow\begin{cases} & \text{ } y^{\log_7x}=49 \\ & \text{ } xy=7^3 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } \log_7x\log_7y=\log_749 \\ & \text{ } xy=343 \end{cases}\Rightarrow$$\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } \log_7( \frac{343}{y})\log_7y=2 \\ & \text{ } x= \frac{343}{y} \end{cases}$

Дальше все по свойству
  $(\log_7343-\log_7y)\log_7y=2\\ (3-\log_7y)\log_7y=2$

Пусть $\log_7y=t$, тогда будем иметь
   $(3-t)t=2\\ -t^2+3t-2=0|\cdot(-1)\\ t^2-3t+2=0$
По т. Виета: $t_1=1;\,\,\,\, t_2=2$


Обратная замена
  $\log_7y=1\\ y_1=7\\ x_1= \frac{343}{y_1} =49$


$\log_7y=2\\y_2=49\\x_2= \frac{343}{y_2}=7$



Ответ: $(49;7),\,\,\,(7;49).$

Answer 2

Давайте решим данную систему уравнений. Для удобства заменим \(a = \log_7(x)\) и \(b = \log_7(y)\). Тогда система примет вид:

\[ \begin{cases} x^{\log_7(y)} \cdot y^{\log_7(x)} = 98 \\ \log_7(x) + \log_7(y) = 3 \end{cases} \]

Заметим, что первое уравнение можно переписать в виде:

\[7^{a \cdot b} \cdot 7^{a+b} = 98\]

Так как \(7^{a+b} = 7^{\log_7(x) + \log_7(y)} = 7^3\), то мы можем упростить уравнение:

\[7^{a \cdot b} \cdot 7^3 = 98\]

Теперь у нас есть уравнение вида \(7^{a \cdot b} = \frac{98}{7^3}\). Поскольку \(7^3 = 343\), получаем:

\[7^{a \cdot b} = \frac{98}{343}\]

Мы знаем, что \(7^2 = 49\), поэтому можно записать:

\[(7^2)^{a \cdot b} = \left(\frac{98}{343}\right)\]

\[49^{a \cdot b} = \left(\frac{98}{343}\right)\]

Теперь можно выразить \(a \cdot b\):

\[a \cdot b = \log_{49}\left(\frac{98}{343}\right)\]

Также, у нас есть второе уравнение:

\[\log_7(x) + \log_7(y) = 3\]

Это уравнение можно переписать в виде:

\[a + b = 3\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[ \begin{cases} a \cdot b = \log_{49}\left(\frac{98}{343}\right) \\ a + b = 3 \end{cases} \]

Решение этой системы позволит нам найти значения \(a\) и \(b\), а затем вернуться к переменным \(x\) и \(y\), используя связь \(a = \log_7(x)\) и \(b = \log_7(y)\). Однако, точные значения \(a\) и \(b\) здесь сложно выразить аналитически, и для получения численного ответа можно воспользоваться методами численного анализа, такими как метод Ньютона или метод бисекции.