Question

Решите уравнение √(x^2-4x+4)+√(x^2)=8

Answer 1

$\sqrt{x^2-4x+4}$+$\sqrt{x^2}$=8
перепишем данное уравнение сначала в виде
$\sqrt{(x-2)^2}$+$\sqrt{x^2}$=8
затем в виде
|x-2|+|x|=8
Раскроем модули(четыре варианта)
1) x-2+x=8 ⇒ 2x=10 ⇒ x=5
2) x-2-x=8 (нет решения)
3) 2-x+x=8 (нет решения)
4) 2-x-x=8   ⇒ -2x=6 ⇒ x= - 3
получаем два решения (можно выполнить проверку)
Ответ: - 3; 5

Answer 2

$\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{x^2}=8$

ОДЗ: 
$\left[\begin{array}{ccc}(x-2)^2\geq0\\x^2\geq0\end{array}\right\left[\begin{array}{ccc}x-2\geq0\\x\geq\sqrt{0}\end{array}\right\left[\begin{array}{ccc}x\geq2\\x\geq0\end{array}\right$

$\sqrt{(x-2)^2}+x=8\\x-2+x=8\\2x=10\\x=5$
Корень уравнения удовлетворяет ОДЗ, потому является решением. 

Answer 3

Давайте решим уравнение пошагово:

Уравнение: \[ \sqrt{x^2 - 4x + 4} + \sqrt{x^2} = 8 \]

Первым шагом упростим уравнение, выделив квадратные корни: \[ \sqrt{(x - 2)^2} + \sqrt{x^2} = 8 \]

Теперь мы видим, что первый корень выражает расстояние между \( x \) и 2. Поэтому уравнение можно переписать следующим образом: \[ |x - 2| + |x| = 8 \]

Теперь рассмотрим четыре возможных случая, в зависимости от знаков \( x - 2 \) и \( x \):

1. \( x - 2 \geq 0 \) и \( x \geq 0 \) 2. \( x - 2 \geq 0 \) и \( x < 0 \) 3. \( x - 2 < 0 \) и \( x \geq 0 \) 4. \( x - 2 < 0 \) и \( x < 0 \)

Случай 1:

\[ (x - 2) + x = 8 \] \[ 2x - 2 = 8 \] \[ 2x = 10 \] \[ x = 5 \]

Случай 2:

\[ (x - 2) - x = 8 \] \[ -2 = 8 \] - нет решений в этом случае.

Случай 3:

\[ -(x - 2) + x = 8 \] \[ 2x - 2 = 8 \] \[ 2x = 10 \] \[ x = 5 \]

Случай 4:

\[ -(x - 2) - x = 8 \] \[ -2x + 2 = 8 \] \[ -2x = 6 \] \[ x = -3 \]

Таким образом, уравнение имеет два решения: \( x = 5 \) и \( x = -3 \). Проверим оба решения подставив их обратно в исходное уравнение.