Question

Помогите, Остался один пример что бы меня не отчислили!!! Интеграл x^3 tg(x^4 -2)dx

Answer 1

...........................................................................................

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам решить данный интеграл. Интеграл, который вы предложили, имеет вид:

\[ \int x^3 \tan(x^4 - 2) \,dx \]

Давайте решим его шаг за шагом.

1. Замена переменной: Для упрощения интеграла давайте введем замену переменной. Обозначим \( u = x^4 - 2 \), тогда \( du/dx = 4x^3 \) или \( dx = du/(4x^3) \).

Теперь интеграл принимает вид:

\[ \frac{1}{4} \int u \tan(u) \, du \]

2. Интегрирование по частям: Воспользуемся методом интегрирования по частям, который формулируется следующим образом:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

В данном случае, выберем \( u = u \) и \( dv = \tan(u) \, du \).

Тогда получаем:

\[ du = du, \quad v = -\ln|\cos(u)| \]

3. Применение формулы интегрирования по частям: Подставим найденные значения в формулу интегрирования по частям:

\[ \frac{1}{4} \left( -u\ln|\cos(u)| - \int -\ln|\cos(u)| \, du \right) \]

4. Интегрирование: Теперь нужно интегрировать последний член. Это можно сделать с помощью подходящей замены переменной. Обозначим \( t = \cos(u) \), тогда \( du = -\sin(u) \, du \) и \( -\ln|\cos(u)| \, du = -\ln|t| \, (-\sin(u) \, du) = \ln|t| \, \sin(u) \, du \).

Подставим это в выражение:

\[ \frac{1}{4} \left( -u\ln|\cos(u)| - \int \ln|t| \, \sin(u) \, du \right) \]

5. Интегрирование второго члена: Теперь мы интегрируем \( \int \ln|t| \, \sin(u) \, du \). Для этого воспользуемся интегрированием по частям снова:

Пусть \( A = \ln|t| \) и \( B = \sin(u) \), тогда \( dA = (1/t) \, dt \) и \( dB = \cos(u) \, du \).

Подставим значения в формулу интегрирования по частям:

\[ \int \ln|t| \, \sin(u) \, du = \ln|t| \, \sin(u) - \int (\sin(u)/t) \, dt \]

6. Интегрирование последнего члена: Интегрируем \( \int (\sin(u)/t) \, dt \). Для этого воспользуемся заменой переменной \( w = \cos(u) \), тогда \( dw = -\sin(u) \, du \), и интеграл сводится к интегралу от \( -1/w \):

\[ -\int \frac{\sin(u)}{t} \, dt = -\int \frac{1}{w} \, dw = -\ln|w| \]

Подставим это обратно:

\[ \int \ln|t| \, \sin(u) \, du = \ln|t| \, \sin(u) + \ln|w| \]

7. Итоговый ответ: Теперь подставим все обратно в исходный интеграл:

\[ \frac{1}{4} \left( -u\ln|\cos(u)| - \left( \ln|t| \, \sin(u) + \ln|w| \right) \right) + C \]

Где \( C \) - константа интегрирования.

8. Подстановка обратных замен: Теперь подставим обратные замены \( u = x^4 - 2 \), \( t = \cos(u) \), \( w = \cos(u) \):

\[ \frac{1}{4} \left( -(x^4 - 2)\ln|\cos(x^4 - 2)| - \left( \ln|\cos(x^4 - 2)| \, \sin(x^4 - 2) + \ln|\cos(x^4 - 2)| \right) \right) + C \]

Это окончательный ответ на ваш интеграл.