Question

Прямая касается окружностей радиусов R и r в точках A и B. Известно, что расстояние между центрами равно a причем r < R и r + R < a. Найдите AB.

Answer 1

Пусть центры окружностей - О1 и О2.
Из точки О1 проведём отрезок, параллельный АВ до пересечения с радиусом О2В в точке В1. Отрезок О1В1 равен АВ.
Тогда АВ = √(а² - (R - r)²).

Answer 2

Поскольку прямая касается окружностей в точках a и b, она является общей касательной к обоим окружностям.

Пусть O1 и O2 - центры окружностей радиусов r и r соответственно, A и B - точки касания прямой с окружностями, а C - точка пересечения отрезков O1A и O2B.

Известно, что расстояние между центрами окружностей равно a. Поэтому, O1C = O2C = a.

Также известно, что r < r и r < a. Это означает, что точка C лежит внутри окружности радиуса r и вне окружности радиуса r.

Таким образом, мы можем построить прямую, которая проходит через точку C и является общей касательной к обоим окружностям. Эта прямая будет пересекать окружность радиуса r в точке A и окружность радиуса r в точке B.

Теперь рассмотрим треугольник O1AC. Этот треугольник прямоугольный, поскольку прямая O1A является радиусом окружности. Так как O1C = a, то O1A = r, то O1A/AC = r/AC = tan(∠O1AC).

Аналогично, в треугольнике O2BC получаем, что O2B/BC = r/BC = tan(∠O2BC).

Поскольку прямая AC является общей касательной, ∠O1AC = ∠O2BC. Таким образом, tan(∠O1AC) = tan(∠O2BC).

Следовательно, r/AC = r/BC, и AC = BC.

Значит, отрезок AB является диаметром окружности с центром в точке C.

Таким образом, ab = 2AC = 2BC = 2r.