Question

Составьте уравнение касательной к кривой у=2-х^2/1+х^3 в точке х0=1

Answer 1

Y(1)=(2-1)/(1+1)=1/2
y`(x)=(-2(1+x³)-3x(2-x²))/(1+x³)²=(-2-2x³-6x+3x³)/(1+x³)²=(x³-6x-2)/(1+x³)²
y`(1)=(1-6-2)/(1+1)²=-3,5
Y=0,5-3,5(x-1)=0,5-3,5x+3,5=-3,5x+4

Answer 2

Для составления уравнения касательной к кривой у = 2 - х^2/(1 + х^3) в точке х0 = 1, мы должны найти производную данной функции и подставить в неё значение x0.

1. Найдем производную функции у: у' = d(2 - х^2/(1 + х^3))/dx. Первым делом найдем производную для каждого слагаемого: (2)' = 0, (х^2)' = 2х, (1 + х^3)' = 0 + 3х^2 = 3х^2.

Затем применим правило для производной частного функций: (х^2/(1 + х^3))' = (2х * (1 + х^3) - х^2 * 3х^2) / (1 + х^3)^2 = (2х + 2х^4 - 3х^4) / (1 + х^3)^2 = (2х - x^4) / (1 + х^3)^2. Теперь можем составить уравнение касательной: у' = (2х - x^4) / (1 + х^3)^2.

2. Подставляем значение x0 = 1 в уравнение касательной: у'(1) = (2 * 1 - 1^4) / (1 + 1^3)^2 = (2 - 1) / (1 + 1)^2 = 1 / 4 = 0.25.

Получили значение y' в точке х = 1 равное 0.25.

3. Используем формулу для уравнения касательной: y - y0 = у'(x0) * (x - x0),

где x0 = 1, y0 = 2 - х0^2/(1 + х0^3) = 2 - 1/(1 + 1^3) = 2 - 1/2 = 2 - 0.5 = 1.5.

Подставляем значения в формулу: y - 1.5 = 0.25 * (x - 1).

Получили уравнение касательной к кривой у = 2 - х^2/(1 + х^3) в точке х0 = 1. Уравнение касательной: y - 1.5 = 0.25 * (x - 1).