Question

Дана функция y = f(x), где f(x) = tg x. Докажите, что f(2x + 2π) + f(7π - 2x) = 0

Answer 1

так как тангенс имеет период π,то f(2x+2π)=f(2x);

f(7π-2x)=f(-2x);

так как тангенс-нечетная функция,то f(-2x)=-f(2x)

ну и последнее:

f(2x)-f(2x)=0!!!!!

Answer 2

Для доказательства равенства f(2x + 2π) + f(7π - 2x) = 0, мы начнем с выражения f(2x + 2π) и f(7π - 2x) в терминах тангенса.

Начнем с f(2x + 2π): f(2x + 2π) = tg(2x + 2π)

Поскольку тангенс имеет период π, мы можем добавить или вычесть любое целое число π из аргумента тангенса, и значение не изменится. Используя это свойство, мы можем переписать f(2x + 2π) следующим образом: tg(2x + 2π) = tg(2x + 2π - 2π) = tg(2x)

Теперь рассмотрим f(7π - 2x): f(7π - 2x) = tg(7π - 2x)

Аналогично, мы можем переписать это выражение, используя периодичность тангенса: tg(7π - 2x) = tg(7π - 2x + 2π) = tg(7π)

Теперь у нас есть следующее уравнение: tg(2x) + tg(7π) = 0

Используя свойства тангенса, можно заметить, что tg(7π) = tg(π) = 0. Поэтому оставляем только первое слагаемое: tg(2x) + 0 = 0 tg(2x) = 0

Тангенс равен нулю, когда его аргумент является кратным π. То есть, tg(2x) = 0, когда 2x равно nπ, где n - целое число. Мы можем записать это как: 2x = nπ

Теперь, чтобы доказать исходное уравнение, мы можем заметить, что если 2x равно nπ, то 7π - 2x также равно (7 - n)π. Подставим эти значения обратно в исходное уравнение: tg(2x) + tg(7π - 2x) = 0 tg(nπ) + tg((7 - n)π) = 0

Тангенс также имеет свойство симметрии относительно π/2, что означает, что tg(nπ) = tg((n + 2)π). Поэтому мы можем переписать уравнение следующим образом: tg(nπ) + tg((n + 2)π) = 0

Используя это свойство, мы можем заметить, что все слагаемые в этой сумме сокращаются. Каждый терм tg(nπ) будет равен 0, и таким образом, сумма равна нулю: 0 + 0 = 0

Таким образом, мы доказали, что f(2x + 2π) + f(7π - 2x) = 0 для данной функции f(x) = tg(x).