Question

Сколько необходимо маленьких квадратиков, чтобы образовать ступенчатую фигуру, подобную изображённой на рисунке, если в нижнем её ряду: 1) 20 клеток; 2) 100 клеток; 3) 2п клеток?

Answer 1

Отвечал уже.
1) 20 клеток. В этой фигуре 
2*(2+4+6+...+18) + 20 = 4*(1+2+3+...+9) + 20 = 4*45+20 = 200 клеток.
2) 100 клеток
2*(2+4+6+...+98)+100 = 4*(1+2+...+49)+100 = 4*49*50/2+100 = 5000.
3) 2n клеток
2*(2+4+...+(2n-2))+2n = 4*(1+2+...+n-1)+2n = 4(n-1)n/2 + 2n =
= 2n(n-1) + 2n = 2n*(n-1+1) = 2n*n = 2n^2

Answer 2

Каждый последующий ряд ступенек в этой фигуре состоит из большего количества квадратиков, чем предыдущий. На вопрос сколько квадратиков нужно для каждого из рядов, чтобы образовать подобную ступенчатую фигуру, можно использовать формулу для суммы арифметической прогрессии.

Поскольку в первом ряду один квадратик, мы можем считать это начальным членом последовательности.

Для нахождения общего количества квадратиков в ступенчатой фигуре с определенным количеством клеток в нижнем ряду, можно воспользоваться формулой для суммы первых n членов арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \]

Где: \( S_n \) - сумма первых n членов \( n \) - количество членов последовательности \( a_1 \) - первый член последовательности \( a_n \) - последний член последовательности

Теперь, чтобы найти количество квадратиков в каждой из фигур:

1) Для фигуры с 20 клетками в нижнем ряду: \( a_1 = 1 \) (первый член) \( S_n = 20 \) (сумма всех членов) \( a_n \) нужно найти. Поскольку шаг ступенек равен 2 (1 квадрат -> 3 квадрата -> 5 квадратов и так далее), мы можем найти, что \( a_n = 19 \) (последний член)

Теперь подставим значения в формулу: \[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \] \[ 20 = \frac{n}{2}(1 + 19) \] \[ 20 = \frac{n}{2}(20) \] \[ n = 2 \]

Таким образом, для фигуры с 20 клетками в нижнем ряду понадобится 2 ряда, чтобы образовать ступенчатую фигуру.

2) Для фигуры с 100 клетками в нижнем ряду: Точно так же вы можете использовать формулу для определения количества рядов. В данном случае, если последний член равен 99 (как в предыдущем примере) и сумма равна 100, результат также будет 2 ряда.

3) Для фигуры с \( 2p \) клетками в нижнем ряду: Если в нижнем ряду \( 2p \) клеток, то последний член будет \( 2p - 1 \). Таким образом, чтобы найти количество рядов, мы можем использовать формулу, аналогичную предыдущим примерам. Результат будет 2 ряда.