Question

Решить подробно уравнение: y'+2y/x=x^2

Answer 1

$y'+\frac{2y}{x}=x^2;\,y(x)=e^{-\int\frac{2dx}{x}}\left(C+\int x^2e^{\int\frac{2dx}{x}}\,dx\right)=$
$=e^{-2\ln |x|}\left(C+\int x^2e^{2\ln |x|}\,dx\right)= \frac{1}{x^2} \left(C+\int x^4\,dx\right)=\frac{1}{x^2} \left(C+\frac{x^5}{5}\right)$

Answer 2

Данное уравнение представляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Уравнение имеет вид:

\[ y' + \frac{2y}{x} = x^2 \]

Для его решения следуем шагам:

1. Приведение уравнения к стандартному виду для уравнений с разделяющимися переменными. 2. Интегрирование с обеих сторон.

Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду.

Умножим обе стороны уравнения на \( x \):

\[ x \cdot y' + 2y = x^3 \]

Теперь это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Такие уравнения решаются методом интегрирующего множителя.

Шаг 2: Найдем интегрирующий множитель.

Интегрирующий множитель (\( \mu \)) находится по формуле:

\[ \mu = e^{\int P(x) \, dx} \]

Где \( P(x) \) - коэффициент при \( y \) в уравнении. В данном случае \( P(x) = 2/x \).

\[ \int P(x) \, dx = \int \frac{2}{x} \, dx = 2 \ln |x| \]

Таким образом, интегрирующий множитель \( \mu \) равен \( e^{2 \ln |x|} = e^{\ln x^2} = x^2 \).

Теперь умножим обе части уравнения на \( x^2 \):

\[ x^2 \cdot (x \cdot y' + 2y) = x^2 \cdot x^3 \]

\[ x^3 \cdot y' + 2x^2 \cdot y = x^5 \]

Теперь уравнение имеет вид, удобный для интегрирования:

\[ (x^3 \cdot y)' = x^5 \]

Интегрируем обе стороны:

\[ x^3 \cdot y = \frac{x^6}{6} + C \]

Где \( C \) - константа интегрирования. Теперь найдем \( y \):

\[ y = \frac{x^3}{6} + \frac{C}{x^3} \]

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.