Question

Докажите тождество 1+sina=2cos^2(p/4-a/2)

Answer 1

По формуле cos2x= (2cos²x)  - 1
получаем что 2cos²x=cos2x+1
при х=p/4-a/2  получаем
2cos²(p/4-a/2)=cos(2(p/4-a/2))+1=cos(p/2-a)+1
по формуле cos(p/2-x)=sinx
=sina + 1 

Answer 2

Давайте рассмотрим левую и правую части уравнения по отдельности и постараемся свести их к одному выражению.

Уравнение: \(1 + \sin a = 2 \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{a}{2}\right)\)

Посмотрим на левую часть уравнения:

\[1 + \sin a\]

Используем тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). Подставим \(\sin a = 1 - \cos^2 a\):

\[1 + (1 - \cos^2 a)\]

Упростим:

\[2 - \cos^2 a\]

Теперь рассмотрим правую часть уравнения:

\[2 \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{a}{2}\right)\]

Мы знаем, что \(\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\). Подставим \(x = \left(\frac{\pi}{4} - \frac{a}{2}\right)\):

\[2 \cdot \frac{1 + \cos\left(2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{a}{2}\right)\right)}{2}\]

Раскроем косинус двойного угла:

\[2 \cdot \frac{1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - a\right)}{2}\]

Так как \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - a\right) = \sin a\), упростим выражение:

\[\sin a\]

Таким образом, правая часть уравнения также равна \(\sin a\).

Таким образом, левая и правая части уравнения совпадают, что доказывает данное тождество:

\[1 + \sin a = 2 \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{a}{2}\right)\]