Question

Найдите наибольшее значение функции у=8х^3+21x^2-90x-189 на отрезке [-5; 0,5]

Answer 1

Производная функции у=8х³+21x²-90x-189 равна:
y' = 24x²+42x-90. приравняем её нулю и найдём критические точки:
24x²+42x-90 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=42^2-4*24*(-90)=1764-4*24*(-90)=1764-96*(-90)=1764-(-96*90)=1764-(-8640)=1764+8640=10404;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√10404-42)/(2*24)=(102-42)/(2*24)=60/(2*24)=60/48=1.25;x₂=(-√10404-42)/(2*24)=(-102-42)/(2*24)=-144/(2*24)=-144/48=-3.
Определяем характер этих точек по знаку производной при переходе через эти точки:
х  =  -4      -2       1       2 ,
y' = 126    -78    -24     90.
Максимум находится в точке х = -3 (производная меняет знак с + на -).
Значение функции в точке максимума: у = 54.

Answer 2

Поиск наибольшего значения функции

Для нахождения наибольшего значения функции у = 8х^3 + 21x^2 - 90x - 189 на заданном отрезке [-5; 0.5], мы можем использовать методы дифференциального исчисления. Найдем сначала критические точки функции, а затем определим, является ли наибольшее значение функции одной из этих точек или на границах отрезка.

1. Найдем производную функции у по переменной х: у' = 24х^2 + 42x - 90

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив полученное уравнение: 24х^2 + 42x - 90 = 0

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать квадратное уравнение или графический метод. Давайте воспользуемся квадратным уравнением:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Подставим значения a = 24, b = 42 и c = -90 в формулу:

x = (-(42) ± √((42)^2 - 4(24)(-90))) / (2(24)) x = (-42 ± √(1764 + 8640)) / 48 x = (-42 ± √10404) / 48 x = (-42 ± 102) / 48

Получаем два значения для x:

x1 = (-42 + 102) / 48 = 60 / 48 = 1.25 x2 = (-42 - 102) / 48 = -144 / 48 = -3

Таким образом, у нас есть две критические точки: x1 = 1.25 и x2 = -3.

3. Проверим значения функции в этих критических точках и на границах отрезка.

Для x = -5: у = 8(-5)^3 + 21(-5)^2 - 90(-5) - 189 = -500 + 525 + 450 - 189 = 286

Для x = 0.5: у = 8(0.5)^3 + 21(0.5)^2 - 90(0.5) - 189 = 2 + 5.25 - 45 - 189 = -226.75

Таким образом, на границах отрезка у наибольшего значения функции нет. Осталось проверить значения функции в критических точках.

Для x = 1.25: у = 8(1.25)^3 + 21(1.25)^2 - 90(1.25) - 189 = 24.5 + 33.0625 - 112.5 - 189 = -243.9375

Для x = -3: у = 8(-3)^3 + 21(-3)^2 - 90(-3) - 189 = -216 + 189 + 270 - 189 = 54

Таким образом, наибольшее значение функции равно 54 и достигается при x = -3.

Ответ: Наибольшее значение функции у = 8х^3 + 21x^2 - 90x - 189 на отрезке [-5; 0.5] равно 54 и достигается при x = -3.