Question

Решите уравнение (x-1)(x^2+6x+9)=5(x+3)

Answer 1

Собираем формулу сокрашеного умножения
(Х-1)(х+3)^2=5(х+3)
Для того что бы упростить уравнене выражаем х+1
(Х-1)=5(х+3)/(х+3)^2
(Х-1)=5/(х+3)
Общий знаменатель х+3. Умножаем на него обе стороны
(Х-1)(х+3)=5
Х^2+3х-х-3-5=0
Х^2+2х-8=0
D=4+32=36
X1=(-2+6)/2=2
X2=(-2-6)/2=-4
Ответ:2;-4

Answer 2

Для начала распишем выражения в скобках:

(x-1)(x^2+6x+9) = 5(x+3)

Раскроем скобки:

x(x^2+6x+9) - 1(x^2+6x+9) = 5x + 15

Распишем умножение:

x^3 + 6x^2 + 9x - x^2 - 6x - 9 = 5x + 15

Сгруппируем подобные слагаемые:

x^3 + 5x^2 + 9x - 5x - 6x - 24 = 0

x^3 + 5x^2 + 3x - 24 = 0

Данное уравнение является кубическим. Чтобы найти его корни, используем различные методы решения уравнений. Один из подходов - использовать рациональный корень. Если x = p/q является рациональным корнем данного уравнения, то p должно делиться на коэффициент при x^3, а q должно делиться на коэффициент при x^0 (т.е. 1). Проверим все возможные рациональные корни, используя рациональный корневой теоремы (RRT).

Возможные рациональные корни: p = ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24 q = ±1

Подставим каждый из возможных корней в уравнение:

При x = 1: 1^3 + 5(1)^2 + 3(1) - 24 = 1 + 5 + 3 - 24 = -15 ≠ 0

При x = -1: (-1)^3 + 5(-1)^2 + 3(-1) - 24 = -1 + 5 - 3 - 24 = -23 ≠ 0

Удачные подстановки не дали корней. Следовательно, надо искать иные методы для решения данного кубического уравнения. Одним из таких методов является метод Биркгофа, позволяющий разложить кубическое уравнение на два квадратных уравнения.

Данное уравнение имеет вид:

x^3 + 5x^2 + 3x - 24 = 0

Используя метод Биркгофа, представим x в виде суммы двух переменных:

x = y - a

где a - число, значение которого мы сами выбираем. В данном случае возьмем a таким, чтобы коэффициент при y^2 равнялся 0. Для этого подставим значения y:

(y - a)^3 + 5(y - a)^2 + 3(y - a) - 24 = 0

Раскроем скобки и упростим:

y^3 - 3ay^2 + 3a^2y - a^3 + 5y^2 - 10ay + 5a^2 + 3y - 3a - 24 = 0

Проведем группировку:

y^3 + (5 - 3a)y^2 + (3a^2 - 10a + 3)y + (-a^3 + 5a^2 - 3a - 24) = 0

По требованиям метода Биркгофа, коэффициент при y^2 должен быть равен 0, поэтому выберем a так, чтобы выполнялось условие:

5 - 3a = 0

a = 5/3

Подставим найденное значение a:

y^3 + (0)y^2 + (3(5/3)^2 - 10(5/3) + 3)y + (-(5/3)^3 + 5(5/3)^2 - 3(5/3) - 24) = 0

y^3 + (5/3)y - (25/3) = 0

Таким образом, мы получили два квадратных уравнения:

y^2 + (5/3)y - (25/3) = 0 y = -5/3 + √(5/3)^2 + 4*(25/3) / 2 = -5/3 + √(25/9) + 100/3 = -5/3 + 5/3 + 100/3 = 100/3

т.е. один корень y равен 100/3.

И y^2 + (5/3)y - (25/3) = 0

y = -5/3 - √(5/3)^2 + 4*(25/3) / 2 = -5/3 - √(25/9) + 100/3 = -5/3 - 5/3 + 100/3 = 90/3

т.е. второй корень y равен 90/3.

Теперь выразим x через y:

x = y - a

Подставим значение a:

x = (100/3) - (5/3) = 95/3

и

x = (90/3) - (5/3) = 85/3

Таким образом, решения уравнения (x-1)(x^2+6x+9)=5(x+3) равны x = 95/3 и x = 85/3.