Question

(3x+5y)dx-(x+y)dy=0как решить это ДУ? пожалуйста, срочно)

Answer 1

Это диффер.ур-ие с однородными функциями. Надо выделить дробь у/х  или х/у.
$(3x+5y)dx-(x+y)dy=0\\\\\frac{dy}{dx}=\frac{3x+5y}{x+y}\; \; |:\frac{x}{x}\\\\\frac{dy}{dx}=\frac{3+5\frac{y}{x}}{1+\frac{y}{x}}\\\\\frac{y}{x}=t,y=tx,\frac{dy}{dx}=y`=t`x+t\\\\t`x+t=\frac{3+5t}{1+t}\\\\t`x=\frac{3+5t}{1+t}-t=\frac{t^2+4t+3}{1+t}=\frac{(t+1)(t+3)}{t+1}=t+3\\\\t`=\frac{dt}{dx}=\frac{t+3}{x}\\\\\frac{dt}{t+3}=\frac{dx}{x}$
$\int \frac{dt}{t+3}=\int \frac{dx}{x}\\\\\ln|t+3|=\ln|x|+\ln|C|\\\\t+3=Cx\\\\\frac{y}{x}+3=Cx\\\\y=x(Cx-3)\; -\; \; obshee\; reshenie$

Answer 2

К сожалению, ваш вопрос не совсем ясен. Уравнение, которое вы предоставили, выглядит как дифференциальное уравнение (ДУ) первого порядка. Однако, для полного ответа мне нужна более точная формулировка и начальные условия, если они имеются.

Предположим, что ваше уравнение имеет вид (3x + 5y)dx - (x + y)dy = 0. Это уравнение можно решить методом разделения переменных.

1. Разделим уравнение на две части, содержащие переменные x и y: \[\frac{1}{3x + 5y}dx = \frac{1}{x + y}dy.\]

2. Затем проинтегрируем обе стороны по соответствующим переменным. Для этого возьмем интеграл от обеих сторон:

\[\int \frac{1}{3x + 5y}dx = \int \frac{1}{x + y}dy.\]

Решение этого уравнения дает функцию \(F(x, y) + C\), где \(C\) - постоянная интеграции.

3. Выполним интегрирование и решим уравнение для \(F(x, y) + C\).

Для левой части уравнения: \[\int \frac{1}{3x + 5y}dx.\]

Для этого интеграла может потребоваться использование методов частных дробей или замены переменных.

Для правой части уравнения: \[\int \frac{1}{x + y}dy.\]

4. После нахождения обеих частных интегралов, вы получите выражение вида \(F(x, y) + C\).

5. Если у вас есть начальные условия, вы можете использовать их для определения константы \(C\).

Обратите внимание, что если уравнение содержит начальные условия, вы должны использовать их для определения константы интеграции и получения частного решения.

Если у вас есть конкретные значения для \(x\) и \(y\) или другие начальные условия, пожалуйста, уточните их, чтобы я мог предоставить более точный ответ.