Question

А)Запишите уравнение окружности,проходящей через точки А(2,0) ,В(5,0) и касающейся оси Оу. б) Найдите координаты точек пересечения порабол у=-2х^2-х-6 и у=х^2-2. в) Найдите координаты точек пересечения гиперболы ух=2 и окружности х^2+у^2=4.

Answer 1

1) Если окружность проходит через точки А(2,0) ,В(5,0), то её центр лежит на прямой х = (2+5)/2 = 7/2 = 3,5.
А так как окружность касается оси Оу, то радиус R равен 3,5.
Координату уо центра по оси Оу определяем как высоту в равнобедренном треугольнике с боковыми сторонами R и основанием 5-2 = 3.
уо = √(3,5²-1,5²) = √((3,5-1,5)(3,5+1,5) = √(2*5) = √10.
Получаем уравнение окружности (х-3,5)²+(у-√10)² = 3,5².

2) Параболы у=-2х^2-х-6 и у=х^2-2 не пересекаются.
Первая ветвями вниз имеет вершину в точке:
Хо = -в/2а = 1/(-2*2) = -1/4, Уо = -2*1/16+(1/4)-6 = -5,875.
Вторая ветвями вверх имеет вершину Уо = -2.

3) Решаем систему из двух уравнений способом подстановки:
 ух=2 ,  у = 2/х,
 х^2+(2/х)^2=4.
x^4-4x^2+4 = 0  вводим замену переменной х² = а.
а²-4а+4 = 0  или (а-2)² = 0.
Отсюда имеем один корень: а = 2
Обратная замена даёт 2 точки пересечения: х = +-√2, у = +-2/√2 = +-√2.
Координаты точек пересечения: (√2; √2) и (-√2; -√2).

Answer 2

А) Чтобы найти уравнение окружности, проходящей через точки A(2,0) и B(5,0), и касающейся оси Оу, нужно определить ее центр и радиус.

Центр окружности будет находиться на оси Ox, так как она касается оси Оу. Поэтому координаты центра будут иметь вид (x, 0).

Расстояние от центра окружности до точки A или B будет равно радиусу окружности.

Расстояние между точками A(2,0) и B(5,0) равно 3, а значит радиус окружности равен 3.

Таким образом, уравнение окружности будет иметь вид: (x - x_0)^2 + (y - 0)^2 = r^2, где x_0 - координата центра окружности, r - радиус окружности.

Подставим известные значения: (x - x_0)^2 + (y - 0)^2 = 3^2

Ответ: (x - x_0)^2 + y^2 = 9, где x_0 - координата центра окружности.

б) Чтобы найти координаты точек пересечения параболы y = -2x^2 - x - 6 и гиперболы y = x^2 - 2, нужно приравнять уравнения и решить полученное квадратное уравнение.

-2x^2 - x - 6 = x^2 - 2

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:

-3x^2 - x - 4 = 0

Квадратное уравнение имеет вид ax^2 + bx + c = 0, и его можно решить с помощью формулы дискриминанта.

Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(-3)(-4) = 1 - 48 = -47

Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: уравнение y = -2x^2 - x - 6 и y = x^2 - 2 не имеют точек пересечения.

в) Чтобы найти координаты точек пересечения гиперболы xy = 2 и окружности x^2 + y^2 = 4, нужно приравнять уравнения и решить полученную систему уравнений.

xy = 2 x^2 + y^2 = 4

Из первого уравнения можно выразить одну переменную через другую:

y = 2/x

Подставим это выражение во второе уравнение:

x^2 + (2/x)^2 = 4

x^4 + 4 = 4x^2

x^4 - 4x^2 + 4 = 0

Обозначим x^2 = t:

t^2 - 4t + 4 = 0

(t - 2)^2 = 0

t - 2 = 0

t = 2

Таким образом, получаем два значения x: x1 = √2 и x2 = -√2.

Подставим эти значения x в уравнение y = 2/x, чтобы найти соответствующие значения y:

y1 = 2/√2 = √2 y2 = 2/-√2 = -√2

Ответ: координаты точек пересечения гиперболы xy = 2 и окружности x^2 + y^2 = 4 равны (√2, √2) и (-√2, -√2).