Question

Решите уравнениеx(x^2+2x+1)=6(x+1)P.S. Спасибо

Answer 1

$x(x^2+2x+1)=6(x+1) \\ x(x+1)^2-6(x+1)=0 \\ (x+1)(x^2+x-6)=0 \\ x+1=0 \\ x_1=-1 \\ x^2+x-6=0$
По т. Виета
$x_1+x_2=-1 \\ x_1\cdot x_2=-6 \\ x_2=-3 \\ x_3=2$

Ответ: -3; -1; 2.

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение шаг за шагом.

Исходное уравнение: \(x(x^2 + 2x + 1) = 6(x + 1)\).

1. Раскроем скобки:

\(x(x^2 + 2x + 1) = 6x + 6\).

2. Упростим уравнение:

\(x^3 + 2x^2 + x = 6x + 6\).

3. Переносим все члены в одну сторону, чтобы уравнение было равным нулю:

\(x^3 + 2x^2 + x - 6x - 6 = 0\).

4. Сгруппируем члены:

\(x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0\).

Теперь мы должны найти корни этого уравнения. Уравнение третьей степени можно решить различными методами, но в данном случае я расскажу о применении метода деления с остатком (синтетического деления) для нахождения одного корня, после чего мы сможем разложить уравнение и найти оставшиеся корни.

5. Предположим, что \(x = -1\) является корнем уравнения. Подставим его в уравнение и проверим:

\((-1)^3 + 2(-1)^2 - 5(-1) - 6 = -1 + 2 + 5 - 6 = 0\).

Значит, \(x = -1\) - корень уравнения.

6. Теперь применим синтетическое деление:

\[ \begin{array}{c|cccc} -1 & 1 & 2 & -5 & -6 \\ \hline & -1 & -1 & 3 & 2 \\ \end{array} \]

Таким образом, у нас получается частное \(x^2 - x + 3\) и остаток \(2\).

7. Теперь у нас есть разложение уравнения:

\((x + 1)(x^2 - x + 3) = 0\).

8. Решим каждый множитель:

a. \(x + 1 = 0\) дает \(x = -1\).

b. \(x^2 - x + 3 = 0\) не имеет действительных корней (дискриминант меньше нуля), поэтому решения в комплексных числах. Это можно оставить в виде:

\[ x^2 - x + 3 = 0 \implies x = \frac{1 \pm i\sqrt{11}}{2}. \]

Таким образом, уравнение \(x(x^2 + 2x + 1) = 6(x + 1)\) имеет три решения: \(x = -1\), \(x = \frac{1 + i\sqrt{11}}{2}\), и \(x = \frac{1 - i\sqrt{11}}{2}\).