Question

Существует ли последовательность, которая является одновременно и арифметической, и геометрической прогрессией привести пример

Answer 1

Решение:
Последовательность $(b_{n} )$ : 5; 5; 5 ;5; ... - арифметическая прогрессия, первый член которой равен пяти, а разность равна нулю.
Эта же последовательность является геометрической прогрессией, в которой первый член равен пяти, а знаменатель прогрессии равен единице.
Ответ: да, существуют, 
5;5;5;5;...
4;4;4;4;...
и другие.

Answer 2

Да, существуют последовательности, которые являются как арифметической, так и геометрической прогрессиями. Такие последовательности называются арифметико-геометрическими последовательностями (AG-последовательности).

AG-последовательность имеет формулу, которая одновременно выражает и арифметическую, и геометрическую прогрессии. Рассмотрим пример:

Пусть дана последовательность чисел: 2, 6, 18, 54, 162, ...

Чтобы убедиться, что это и арифметическая, и геометрическая прогрессии, давайте рассмотрим разность между каждым элементом и предыдущим:

6 - 2 = 4 18 - 6 = 12 54 - 18 = 36 162 - 54 = 108

Разность между каждым элементом также является арифметической прогрессией: 4, 12, 36, 108, ...

Теперь давайте рассмотрим отношение каждого элемента к предыдущему:

6 / 2 = 3 18 / 6 = 3 54 / 18 = 3 162 / 54 = 3

Отношение каждого элемента к предыдущему также является геометрической прогрессией: 3, 3, 3, 3, ...

Таким образом, данная последовательность (2, 6, 18, 54, 162, ...) одновременно является и арифметической (с разностью 4) и геометрической (с отношением 3) прогрессиями и является примером арифметико-геометрической последовательности.