Question

Найдите радиус шара : вписанного в правильный тетраэдр с ребром а

Answer 1

O₁A =r=(a√3)/3 =(1*√3)/3 = 1/√3. * * * O₁_центр треугольника ABC * * *

DO₁ = √ (DA² -O₁A²) = √ (1² -(1/√3)² ) =√(2/3) =(√6) /3 .
Из ΔDAE ( DE -диаметр ; ∠DAE =90°).
DA² =2R *DO₁⇔1² =2R*(√6)/ 3)⇒R =(√6)/4.

V =(4/3)*π*R³ = (4/3)*π*((√6)/4) ³ =4*6√6/3*4³)π=(√6)/8 *π.

Answer 2

Я могу помочь вам найти радиус шара, вписанного в правильный тетраэдр с ребром а.

По результатам поиска в Интернете я нашел несколько способов решения этой задачи. Один из них основан на следующих фактах :

- Центр сферы, вписанной в правильный тетраэдр, лежит на каждой из четырех высот тетраэдра. - Высоты правильного тетраэдра являются его медианами, а медианы любой треугольной пирамиды пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3: 1, считая от вершины. - Значит, центр вписанной сферы совпадает с точкой пересечения высот правильного тетраэдра, а радиус равен четверти высоты тетраэдра.

Другой способ решения основан на формуле для объема пирамиды:

- V = 1/3 ⋅ S ⋅ r, где V - объем пирамиды, S - площадь поверхности пирамиды, r - радиус вписанной сферы. - Из этой формулы можно выразить r через V и S: r = 3V/S. - Зная ребро тетраэдра a, можно найти его объем и площадь поверхности по формулам: V = a³√2/12, S = a²√3. - Подставляя эти значения в формулу для r, получаем: r = 3a³√2/12 / (a²√3) = a√6/12.

Оба способа дают один и тот же ответ: радиус шара, вписанного в правильный тетраэдр с ребром а, равен a√6/12. Надеюсь, это поможет вам решить задачу.