Question

Из вершины острого угла прямоугольного треугольника проведена биссектриса которая разделила противоположный катет на отрезки 4 и 5 смвычислите площадь

Answer 1

1. Свойство биссектрисы: биссектриса угла треугольника, проведенная к противолежащей стороне, делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам( в нашем случае - это отрезки 4 и 5 см, указанные в условии задачи).
2. Прилежащими сторонами в нашем случае являются второй катет и гипотенуза. Значит отношение второго катета к гипотенузе равно 4:5. Т.е. катет составляет 4 части, а гипотенуза 5 частей.
3. По теореме Пифагора находим первый катет. Он составляет в треугольнике 3 части (Квадрат первого катета равен квадрат гипотенузы минус квадрат второго катета).
4. Первый катет равен также : 4 см+5 см = 9 см.
5. Значит 3 части =9см. 1 часть = 3 см. Тогда другой катет = 4 части = 12 см.
6. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов (12*9:2=54 см²)
Ответ: 54 см²

Answer 2

Давайте обозначим элементы прямоугольного треугольника. Пусть угол A является острым углом, а BC и AC - катеты, причем BC - противоположный катет. Пусть D - вершина угла A, в которой проведена биссектриса. Тогда BD и CD - отрезки, на которые биссектриса разделяет противоположный катет.

По условию BD = 4 см и CD = 5 см.

Также мы знаем, что биссектриса делит противоположный катет в отношении, равном отношению другого катета к гипотенузе. Обозначим длину противоположего катета как \(x\). Тогда мы можем записать следующее уравнение:

\(\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}\)

\(\frac{4}{5} = \frac{x}{BC}\)

Теперь найдем BC, используя теорему Пифагора, так как ABC - прямоугольный треугольник:

\(BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{BC^2 + AB^2}\)

Подставим известные значения:

\(BC = \sqrt{5^2 + x^2}\)

Теперь мы можем подставить значение BC в уравнение отношения:

\(\frac{4}{5} = \frac{x}{\sqrt{5^2 + x^2}}\)

Решив это уравнение относительно \(x\), мы найдем значение противоположного катета.

После того, как мы найдем \(x\), мы можем использовать его, чтобы найти площадь треугольника. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

\(S = \frac{1}{2} \times BC \times AC\)

Подставим известные значения и найденное \(x\), чтобы найти площадь треугольника.