Question

В треугольнике АВС проведены биссектрисы АD и СЕ. Найдите отношение площадей треугольников АЕD и АВС, если АВ = 21, АС = 28,и ВС = 20.

Answer 1

По основному свойству биссектрисы получаем, что AE = 196 / 16, EB = 140 / 16, BD = 60 / 7, DC = 80 / 7.
Пусть ∠EAD = ∠DAC = α, ∠BCE = ∠ECA = β.
Тогда:
$S_{AED}=\frac{AE\cdot AD}{2}\sin\alpha\\ S_{ADC} = \frac{AC\cdot AD}{2}\sin\alpha=\frac{DC\cdot AC}{2}\sin2\beta\\ S_{ABC}=\frac{AC\cdot CB}{2}\sin2\beta=\frac{CB}{DC}\cdot S_{ADC}\\ S_{AED}=\frac{AE}{AC}\cdot S_{ADC}=\frac{AE\cdot DC}{AC\cdot CB}\cdot S_{ABC}\\ S_{AED}/S_{ABC}=\frac{AE\cdot DC}{AC\cdot CB}=\frac{\frac{196}{16}\cdot\frac{80}{7}}{28\cdot20}=\frac{1}{4}$

Answer 2

Для начала, найдем длину отрезка AD. По определению биссектрисы, отрезок AD делит сторону BC на отрезки BD и CD в отношении, равном отношению длин сторон AB и AC:

BD/CD = AB/AC

Подставляя известные значения, получаем:

BD/CD = 21/28

Упрощая дробь, получаем:

BD/CD = 3/4

Теперь найдем длину отрезка CE. Аналогично, отрезок CE делит сторону AB на отрезки AE и EB в отношении, равном отношению длин сторон AC и BC:

AE/EB = AC/BC

Подставляя известные значения, получаем:

AE/EB = 28/20

Упрощая дробь, получаем:

AE/EB = 7/5

Теперь можем найти отношение площадей треугольников AED и ABC. Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p - полупериметр треугольника, a, b, c - длины сторон треугольника.

Для треугольника ABC:

p = (AB + AC + BC) / 2 = (21 + 28 + 20) / 2 = 69 / 2 = 34.5

S_ABC = √(34.5(34.5-21)(34.5-28)(34.5-20)) = √(34.5*13.5*6.5*14.5) ≈ 342.95

Для треугольника AED:

p = (AE + AD + DE) / 2 = (7 + AD + DE) / 2

Заметим, что треугольник AED является треугольником ABC, где сторона BC заменена на отрезок AD, а сторона AB заменена на отрезок AE. Таким образом, длина стороны DE в треугольнике AED равна BD, а длина стороны AD равна CD. Поэтому:

DE = BD = 3/4 * BC = 3/4 * 20 = 15

AD = CD = 3/4 * AC = 3/4 * 28 = 21

Теперь можем найти площадь треугольника AED:

S_AED = √(p(p-AE)(p-AD)(p-DE)) = √((7 + 21 + 15)/2 * (7 + 21 - AE)/2 * (7 + 21 - 21)/2 * (7 + 21 - 15)/2) = √(43.5 * (28 - AE)/2 * 7/2 * 13/2) ≈ √(43.5 * (28 - AE) * 91/4)

Таким образом, отношение площадей треугольников AED и ABC равно:

S_AED / S_ABC ≈ (√(43.5 * (28 - AE) * 91/4)) / 342.95

Для того, чтобы найти конкретное значение этого отношения, необходимо знать значение AE. Если дано значение AE, его можно подставить в формулу и вычислить отношение площадей.