Question

Решите триногометрическое уравнение СРОЧНО!!! sin(x+pi\3)=-1\2

Answer 1

$sin(x+ \frac{ \pi }{3} )=- \frac{1}{2}\\ x+\frac{\pi}{3} =(-1)^{n+1} \frac{\pi}{6}+\pi n\\ x=(-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} -\frac{\pi}{3}+\pi n$
где n принадлежит Z, т.е. целым числам

Answer 2

Конечно, давайте решим данное тригонометрическое уравнение. Уравнение выглядит следующим образом:

\[ \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \]

Для решения этого уравнения мы можем использовать свойства тригонометрических функций и решать его в несколько шагов.

1. Используем свойство синуса суммы углов: \[ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \]

2. Применяем формулу синуса суммы для нашего уравнения: \[ \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \sin x \cos\frac{\pi}{3} + \cos x \sin\frac{\pi}{3} \]

3. Заменяем значения \(\sin\frac{\pi}{3}\) и \(\cos\frac{\pi}{3}\): \[ \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \sin x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos x \cdot \frac{1}{2} \]

4. Подставляем это обратно в исходное уравнение: \[ \sin x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos x \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \]

5. Умножаем обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ \sqrt{3}\sin x + \cos x = -1 \]

6. Переносим термин с \(\cos x\) в правую сторону: \[ \sqrt{3}\sin x = -\cos x - 1 \]

7. Возводим обе стороны в квадрат: \[ 3\sin^2 x = \cos^2 x + 2\cos x + 1 \]

8. Используем тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[ 3(1 - \cos^2 x) = \cos^2 x + 2\cos x + 1 \]

9. Решаем получившееся квадратное уравнение относительно \(\cos x\): \[ 3 - 3\cos^2 x = \cos^2 x + 2\cos x + 1 \]

10. Приводим уравнение к квадратному виду и решаем: \[ 4\cos^2 x + 2\cos x - 2 = 0 \]

Это квадратное уравнение можно решить с использованием квадратного корня или метода факторизации.

\[ \cos x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a = 4\), \(b = 2\), \(c = -2\).

\[ \cos x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(4)(-2)}}{2(4)} \]

\[ \cos x = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{8} \]

\[ \cos x = \frac{-2 \pm 6}{8} \]

Таким образом, получаем два возможных значения для \(\cos x\):

\[ \cos x_1 = \frac{1}{2} \] \[ \cos x_2 = -1 \]

11. Используем значения \(\cos x\) для нахождения соответствующих значений \(\sin x\):

Если \(\cos x_1 = \frac{1}{2}\), то \(\sin x_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}\) (используем тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)).

Если \(\cos x_2 = -1\), то \(\sin x_2 = 0\) (используем тригонометрическое тождество).

Таким образом, у нас есть два набора решений:

\[ x_1 = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2k\pi, \quad x_2 = \pi + 2k\pi \]

где \(k\) - любое целое число.