Question

Исследуйте функцию f(x)=x\2-x^4 на максимум и минимум

Answer 1

находим производную:

f ' (x)= (x\2-x^) ' = 1/2-4x^3

приравняем ее к нулю и найдём корни:

1/2-4x^3 = 0

-4x^3=-1/2

x^3=1/8

x=1/2

чертим координатную прямую, отмечаем эту точку. и узнаем что это точка максимума.

Answer 2

Для того чтобы исследовать функцию f(x) = x^2 - x^4 на максимум и минимум, нам необходимо найти критические точки и точки перегиба функции, а также проанализировать поведение функции на бесконечности.

1. Найдем производную функции f'(x): f'(x) = 2x - 4x^3

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: 2x - 4x^3 = 0 2x(1 - 2x^2) = 0

Из этого уравнения получаем две критические точки: x = 0 и x = ±1/√2.

3. Найдем вторую производную функции f''(x): f''(x) = 2 - 12x^2

4. Подставим критические точки во вторую производную, чтобы определить их тип: - Для x = 0: f''(0) = 2 > 0, значит, это точка минимума. - Для x = ±1/√2: f''(±1/√2) = 2 - 3 < 0, значит, это точки максимума.

5. Найдем точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю: 2 - 12x^2 = 0 12x^2 = 2 x^2 = 1/6 x = ±√(1/6)

Из этого уравнения получаем две точки перегиба: x = ±√(1/6).

6. Теперь проанализируем поведение функции на бесконечности: - При x → -∞ и x → +∞ функция f(x) стремится к -∞. Это означает, что у функции нет горизонтальных асимптот. - Также, поскольку старшая степень x в функции f(x) равна 4, то функция имеет вертикальную асимптоту в x = 0.

Итак, после проведенного исследования мы получаем следующую информацию о функции f(x) = x^2 - x^4:

- Точка минимума: (0, 0) - Точки максимума: (-1/√2, 1/4) и (1/√2, 1/4) - Точки перегиба: (-√(1/6), -1/6) и (√(1/6), -1/6) - График функции f(x) имеет вертикальную асимптоту в x = 0 и не имеет горизонтальных асимптот. - Функция f(x) стремится к -∞ при x → -∞ и x → +∞.