Question

Задание № 1: Решите уравнение (x2−x+1)2−10(x−4)(x+3)−109=0. В ответе укажите сумму его корней. Задание № 2: Число a при делении на 7 дает в остатке 2 или 4. В каком из этих случаев будет больше остаток от деления числа a2 на 7? В ответе укажите номер правильного ответа: 1 - если число aa при делении на 7 дает в остатке 2; 2 - если число aa при делении на 7 дает в остатке 4. Задание № 3: Два пешехода должны выйти навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 20 км. Если первый выйдет на полчаса раньше второго, то он встретит второго пешехода через 2,5 ч после своего выхода. Если второй выйдет на 1 ч раньше первого, то он встретит первого пешехода через 2 ч 40мин после своего выхода. Какова скорость первого пешехода (в км/ч)? Введите ответ: Задание № 4: Трехзначное число больше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, на 495. Сумма цифр этого трехзначного числа равна 17, а сумма квадратов его цифр равна 109. Найти такое трехзначное число. Задание № 5: При каких значениях параметра bb корень уравнения 6−3b+4bx=4b+12x меньше 11? Выберите вариант ответа: b<67b<67 b<−2; b>3b<−2; b>3 −2 Задание № 6: Диагональ равнобедренной трапеции является биссектрисой острого угла, а основания относятся как 1:2. Периметр трапеции равен 90. Найдите большую сторону трапеции. Задание № 7: Четырехугольник PQRSPQRS вписан в окружность. Диагонали PR и QSперпендикулярны и пересекаются в точке M. Известно, что PS=13, QM=10, QR=26. Найти площадь четырехугольника PQRSPQRS.

Answer 1

Задание № 1:

Решите уравнение (x^2−x+1)^2−10(x−4)(x+3)−109=0. В ответе укажите сумму его корней.

(x^2-x+1)^2-10(x-4)(x+3)-109=0

(x^2-x+1)^2-10(x^2-x-12)-109=0

замена x^2-x+1=a

a^2-10(a-13)-109=0

a^2-10a+130-109=0

a^2-10a+21=0

(a-3)(a-7)=0

a=3

a=7

x^2-x+1=3

x^2-x-2=0

D=1+4*2>0, корни есть

x1+x2=1

x^2-x+1=7

x^2-x-6=0

D=1+4*6>0, корни есть

x3+x4=1

x1+x2+x3+x4=1+1=2

ответ: 2

 

Задание № 2:

Число a при делении на 7 дает в остатке 2 или 4. В каком из этих случаев будет больше остаток от деления числа a^2 на 7?

первый случай обозначим за х x=7k+2

второй случай обозначим за у y=7k+4

x^2=49k^2+28k+4=7(7k^2+4k)+4 - остаток 4

y^2=49k^2+56k+16=7(7k^2+8k++2)+2 - остаток 2

4>2, больший остаток найден

ответ: 1 (остаток 2)

Задание № 3:

Два пешехода должны выйти навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 20 км. Если первый выйдет на полчаса раньше второго, то он встретит второго пешехода через 2,5 ч после своего выхода. Если второй выйдет на 1 ч раньше первого, то он встретит первого пешехода через 2 ч 40 мин после своего выхода. Какова скорость первого пешехода (в км/ч)?

пусть х  скорость первого (ее надо найти), у скорость второго

имеем систему

2.5x+2y=20 // так как первый шел 2,5 часа и вышел на полчаса раньше, то второй шел 2 часа

5x/3+8y/3=20 // так как второй шел 2 ч 40 мин и вышел на часраньше, то первый шел 1 ч 40 мин

 

5x+4y=40

5x+8y=60

 

4y=20

y=5

2.5x+2*5=20

2.5x=10

x=4

ответ: 4

 

 

Задание № 4:

Трехзначное число больше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, на 495. Сумма цифр этого трехзначного числа равна 17, а сумма квадратов его цифр равна 109. Найти такое трехзначное число.

это число abc

система:

100a+10b+c=100c+10b+c+495

a+b+c=17

a^2+b^2+c^2=109

 

a=c+5

c+5+b+c=17

(c+5)^2+b^2+c^2=109

 

b+2c=12

c^2+10c+25+b^2+c^2=109

 

b=12-2c

2c^2+10c+b^2-84=0

2c^2+10c+(12-2c)^2-84=0

2c^2+10c+144-48c+4c^2-84=0

6c^2-38c+60=0

3c^2-19c+30=0

D=361-4*3*30=1

c=(19+1)/6=20/6 не натуральное

c=(19-1)/6=3

b=12-2*3=6

a=3+5=8

ответ: 863

Задание № 5:

При каких значениях параметра b корень уравнения 6−3b+4bx=4b+12x меньше 1?

6-3b+4bx=4b+12x

4bx-12x=4b-6+3b

(4b-12)x=7b-6

x=(7b-6)/(4b-12)

(7b-6)/(4b-12)<1

(7b-6-4b+12)/(4b-12)<0

(3b+6)/(4b-12)<0

(b+2)/(b-3)<0

промежуток между корнями (-2; 3)

ответ: (-2; 3)

 

Задание № 6:

Диагональ равнобедренной трапеции является биссектрисой острого угла, а основания относятся как 1:2. Периметр трапеции равен 90. Найдите большую сторону трапеции.

меньшее основание х, большее основание 2х

если острый угол при основании 2А, то его половина, отсеченная биссектрисой А

сумма острого и тупого угла равнобедренной трапеции равна 180 градусов, значит тупой угол (180-2А)

теперь рассматриваем треугольник (со сторонами боковая сторона трапеции, ее меньшее основание и диагональ) с двумя известными углами А и (180-2А), находим третий угол - А - треугольник равнобедренный

боковыми сторонами этого треугольника являются боковая сторона трапеции и ее меньшее основание

значит и боковые стороны трапеции равны х

записываем периметр

х+х+х+2х=90

5х=90

х=18

большая сторона 2х=36

ответ: 36

Задание № 7:

Четырехугольник PQRS вписан в окружность. Диагонали PR и QS перпендикулярны и пересекаются в точке M. Известно, что PS=13, QM=10, QR=26. Найти площадь четырехугольника PQRS.

углы PRQ и PSQ опираются на одну и ту же дугу, значит они равны. кроме того диагонали перпендикулярны, значит в частности углы PMS и RMQ равны

тогда треугольники PMS и RMQ подобны

k=QR/PS=2

отношение k=QM/PM=2

10/PM=2; PM=5

отношение k=RM/SM=2

находим RM по т. Пифагора

RM=корень(QR^2-QM^2)=корень(26^2-10^2)=24

24/SM=2; SM=12

тогда полные диагонали:

QS=QM+SM=10+12=22

PR=PM+RM=5+24=29

площадь четырехугольника равна полупроизведению их диагоналей на синус угла между ними

S=(1/2)*22*29*sin90=319

ответ: 319

Answer 2

Задание № 1: Решение уравнения и сумма его корней

Дано уравнение:

(x^2 - x + 1)^2 - 10(x - 4)(x + 3) - 109 = 0

Для решения этого уравнения, нам нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Давайте выполним эти действия:

(x^2 - x + 1)^2 - 10(x - 4)(x + 3) - 109 = 0

Раскроем квадрат:

(x^4 - 2x^3 + 2x^2 - x + 1) - 10(x^2 - x - 12) - 109 = 0

Распределение:

x^4 - 2x^3 + 2x^2 - x + 1 - 10x^2 + 10x + 120 - 109 = 0

Объединение подобных слагаемых:

x^4 - 2x^3 - 8x^2 + 9x + 12 = 0

Уравнение стало более простым. Теперь мы можем попробовать найти его корни. Однако, для этого уравнения нет простых аналитических решений. Мы можем воспользоваться численными методами, такими как метод Ньютона или метод половинного деления, чтобы найти приближенные значения корней.

Чтобы найти сумму корней, мы можем воспользоваться формулой Виета. Для уравнения вида ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0, сумма корней равна -b/a. В нашем случае, коэффициенты перед x^4, x^3, x^2, x и свободный член равны 1, -2, -8, 9 и 12 соответственно. Следовательно, сумма корней равна -(-2)/1 = 2.

Таким образом, сумма корней уравнения равна 2.

Ответ: Сумма корней уравнения равна 2.

Задание № 2: Остаток от деления числа a^2 на 7

Дано, что число a при делении на 7 дает в остатке 2 или 4. Нам нужно определить, в каком из этих случаев остаток от деления числа a^2 на 7 будет больше.

Для этого рассмотрим оба случая:

1. Если число a при делении на 7 дает в остатке 2: - Пусть a = 7k + 2, где k - целое число. - Тогда a^2 = (7k + 2)^2 = 49k^2 + 28k + 4. - Остаток от деления a^2 на 7 равен 4.

2. Если число a при делении на 7 дает в остатке 4: - Пусть a = 7k + 4, где k - целое число. - Тогда a^2 = (7k + 4)^2 = 49k^2 + 56k + 16. - Остаток от деления a^2 на 7 равен 2.

Таким образом, в случае, когда число a при делении на 7 дает в остатке 4, остаток от деления a^2 на 7 будет больше.

Ответ: В случае, когда число a при делении на 7 дает в остатке 4, остаток от деления a^2 на 7 будет больше.

Задание № 3: Скорость первого пешехода

Дано, что два пешехода должны встретиться друг с другом, выходя из двух пунктов, расстояние между которыми составляет 20 км. Если первый пешеход выйдет на полчаса раньше второго, то он встретит второго пешехода через 2,5 часа после своего выхода. Если второй пешеход выйдет на 1 час раньше первого, то он встретит первого пешехода через 2 часа 40 минут после своего выхода.

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу скорости, которая определяется как расстояние, разделенное на время. Обозначим скорость первого пешехода как v1 и скорость второго пешехода как v2.

Используя первое условие, мы можем записать следующее:

20 = (v1 + v2) * 2,5

Используя второе условие, мы можем записать следующее:

20 = (v1 + v2) * (2 + 40/60)

Решая эти два уравнения, мы можем найти значения скорости первого пешехода (v1) и второго пешехода (v2).

Решение:

20 = (v1 + v2) * 2,5

20 = (v1 + v2) * (2 + 40/60)

Раскроем скобки:

20 = 2,5v1 + 2,5v2

20 = 2v1 + 2v2 + 40/60v1 + 40/60v2

Упростим уравнение:

20 = 2,5v1 + 2,5v2

20 = 2,3333v1 + 2,3333v2

Теперь у нас есть система уравнений с двумя неизвестными:

2,5v1 + 2,5v2 = 20

2,3333v1 + 2,3333v2 = 20

Решим эту систему уравнений.