Question

Решите уравнение корень из 2х^2+2х+3 прибавить корень из 2х^2+2 равно корню из 3х^2+2х-1 прибавить корень из х^2+6 в действительных числах

Answer 1

 $\sqrt{2x^2+2x+3} + \sqrt{2x^2+2} = \sqrt{3x^2+2x-1} + \sqrt{x^2+6} \\ 2(x^2+6)-10 = 2x^2+2 \\ 3(x^2+x)-(x+1) = 3x^2+2x-1 \\ x^2+6=b ; x^2+x=a\\ \sqrt{2a+3}+\sqrt{2b-10} = \sqrt{ 2a+b-7 } + \sqrt{b}\\ (2a+3)(2b-10) = (2a+b-7)b\\ 2ab-20a-30 = b^2-13b$ \
Последнее получилось после возведения в степень ,          значит подставляя   замену снова получим   
 $x^4+2x^3-7x^2+8x+12=0$
 Подбирая первый корень $x=1$ можно найти второй  
 поделив  уравнение на множитель $x-1$ 
  $x^4+2x^3-7x^2+8x+12 = (x-1)(x-2)(x+2)(x+3) \\ x=1;2;-2;-3$ 

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом. У нас есть уравнение:

\[\sqrt{2x^2 + 2x + 3} + \sqrt{2x^2 + 2} = \sqrt{3x^2 + 2x - 1} + \sqrt{x^2 + 6}\]

1. Начнем с того, чтобы избавиться от корней. Возведем обе стороны уравнения в квадрат:

\[(\sqrt{2x^2 + 2x + 3})^2 + 2\sqrt{2x^2 + 2x + 3}\sqrt{2x^2 + 2} + (\sqrt{2x^2 + 2})^2 = (\sqrt{3x^2 + 2x - 1})^2 + 2\sqrt{3x^2 + 2x - 1}\sqrt{x^2 + 6} + (\sqrt{x^2 + 6})^2\]

2. Упростим уравнение, учитывая, что \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\):

\[2x^2 + 2x + 3 + 2\sqrt{(2x^2 + 2x + 3)(2x^2 + 2)} + 2x^2 + 2 = 3x^2 + 2x - 1 + 2\sqrt{(3x^2 + 2x - 1)(x^2 + 6)} + x^2 + 6\]

3. Упростим дальше и сгруппируем подобные члены:

\[4x^2 + 4x + 5 + 2\sqrt{(2x^2 + 2x + 3)(2x^2 + 2)} = 4x^2 + 2x + 5 + 2\sqrt{(3x^2 + 2x - 1)(x^2 + 6)}\]

4. Вычитаем \(4x^2 + 2x + 5\) из обеих сторон уравнения:

\[2x + 2\sqrt{(2x^2 + 2x + 3)(2x^2 + 2)} = 2x + 2\sqrt{(3x^2 + 2x - 1)(x^2 + 6)}\]

5. Вычитаем \(2x\) из обеих сторон уравнения:

\[2\sqrt{(2x^2 + 2x + 3)(2x^2 + 2)} = 2\sqrt{(3x^2 + 2x - 1)(x^2 + 6)}\]

6. Делим обе стороны уравнения на 2:

\[\sqrt{(2x^2 + 2x + 3)(2x^2 + 2)} = \sqrt{(3x^2 + 2x - 1)(x^2 + 6)}\]

7. Возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\[2x^2 + 2x + 3)(2x^2 + 2 = (3x^2 + 2x - 1)(x^2 + 6)\]

8. Упрощаем уравнение:

\[4x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x^2 + 4 = 3x^4 + 20x^3 + 17x^2 - x^2 - 6\]

\[4x^4 + 4x^3 + 10x^2 + 4 = 3x^4 + 20x^3 + 16x^2 - 6\]

\[4x^4 + 4x^3 + 10x^2 + 4 = 3x^4 + 20x^3 + 16x^2 - 6\]

\[x^4 - 16x^3 - 6x^2 - 10 = 0\]

Теперь это уравнение можно попытаться решить, например, методом факторизации, численными методами или другими подходящими методами решения уравнений. Однако, уравнение четвертой степени может быть довольно сложным для аналитического решения.