Question

Вершины равнобедренного треугольника с основанием 12 см и углом при основании 45 градусов лежат на сфере, радиус которой равен 13 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника.

Answer 1

Т.к. углы при основании этого треугольника равны 45 градусов, знгачит третий угол равен 90 градусов, значит этот треугольник прямоугольный.
Пусть сторона АС=12см(основание), а АВ и СВ катеты.
М-середина АС. АМ=МС=6 см
О-Центр сферы. ОМ=корень из(13^2-6^2)=корень из133
Ответ: корень из 133

Answer 2

Для решения этой задачи давайте разберемся с геометрическими свойствами заданных элементов.

У нас есть равнобедренный треугольник с основанием 12 см и углом при основании 45 градусов. Из этих данных следует, что другие два угла треугольника равны 67.5 градусам (поскольку углы треугольника в сумме равны 180 градусам). Также из свойств равнобедренного треугольника следует, что высота, проведенная из вершины угла при основании к середине основания, является медианой и перпендикулярна основанию.

Теперь давайте представим, что у нас есть сфера с центром \(O\) и радиусом \(R = 13\) см. Вершины нашего треугольника лежат на этой сфере. Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника можно найти как расстояние от центра сферы до основания треугольника вдоль перпендикуляра к этой плоскости.

Поскольку вершины треугольника лежат на сфере, они также лежат на линии, проходящей через центр сферы \(O\) и проходящей через середину основания треугольника (так как высота, проведенная из вершины, является медианой).

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник \(OAB\), где \(OA\) - радиус сферы, \(AB\) - расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, а \(OB\) - половина основания треугольника (то есть 6 см).

Применим теорему Пифагора к этому треугольнику:

\[OA^2 = AB^2 + OB^2\]

\[(13)^2 = AB^2 + (6)^2\]

\[169 = AB^2 + 36\]

\[AB^2 = 133\]

\[AB = \sqrt{133}\]

Таким образом, расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно \(\sqrt{133}\) см.