Question

Квадрат 5*5 заполнен числами так, что произведение чисел в каждой строке отрицательно. Необходимо доказать, что всегда найдется cтолбец, в котором произведение чисел также отрицательно.

Answer 1

 

Так как произведение чисел в одной строке отрицательно по условию задачи, то произведение всех чисел во всех пяти строках тоже  будет отрицательно.

С другой стороны  произведение всех чисел равно и произведению всех чисел в 5-ти столбцах . А поскольку произведение всех чисел отрицательно, то найдется столбец, в котором произведение чисел будет отрицательным.

Answer 2

Я могу помочь вам с решением математической задачи. Вот подробный ответ на ваш вопрос:

Для доказательства этой задачи мы можем использовать понятие инварианта. Инвариант - это свойство, которое не меняется при некоторых преобразованиях. В данном случае мы будем рассматривать произведение всех чисел в квадрате 5×5.

Пусть P - это произведение всех чисел в квадрате. Заметим, что P не зависит от того, как мы переставляем строки или столбцы квадрата. Это значит, что P является инвариантом относительно таких преобразований.

Так как произведение чисел в каждой строке отрицательно, то P тоже отрицательно. Но с другой стороны, P равно и произведению чисел в каждом столбце. А так как P отрицательно, то хотя бы в одном столбце произведение чисел тоже должно быть отрицательно. Это и есть то, что нам нужно доказать.

Вы можете найти больше информации о решении олимпиадных задач на тему инварианты по ссылке [здесь](https://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2016/02/18/reshenie-olimpiadnyh-zadach-na-temu-invarianty). Надеюсь, что это было полезно для вас.